Pesquisa sobre a organização de um festival de música indica que a primeira fila de cadeiras tem 3 lugares e…

Questão

Pesquisa sobre a organização de um festival de música indica que a primeira fila de cadeiras tem 3 lugares e cada fila seguinte acrescenta 4 cadeiras em relação à anterior. Dois alunos registraram fórmulas para calcular o número de cadeiras na enésima fila. O aluno A escreveu a_n = 3 + 4(n - 1) e o aluno B escreveu b_n = 4n - 1. Essas expressões devem descrever a mesma quantidade de cadeiras em cada fila, para qualquer n inteiro positivo. Compare as expressões a_n = 3 + 4(n - 1) e b_n = 4n - 1 apresentadas no texto-base. Qual conclusão está correta em relação à equivalência entre elas?

1. A) As expressões são equivalentes, pois 3 + 4(n - 1) = 4n - 1.
2. B) As expressões não são equivalentes, pois 4n - 1 prevê 1 cadeira na primeira fila.
3. C) As expressões não são equivalentes, pois 3 + 4(n - 1) = 4n + 3.
4. D) As expressões não são equivalentes, pois 4(n - 1) + 3 = 4n - 4.
5. E) As expressões são equivalentes apenas para n >= 2.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Resolvo por conta própria, expandindo a expressão de A. Aplicando a propriedade distributiva, 4(n - 1) = 4n - 4, logo a_n = 3 + 4n - 4. Somando os termos constantes, 3 - 4 = -1, então a_n = 4n - 1.
2. Comparo com b_n = 4n - 1. As duas expressões são idênticas para todo n, então são equivalentes. Como verificação, para n = 1 temos a_1 = 3 + 0 = 3 e b_1 = 4 - 1 = 3; para n = 2 temos a_2 = 7 e b_2 = 7. Isso confirma que a primeira fila tem 3 cadeiras e cada fila seguinte acrescenta 4.
3. Conclusão: a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial.
4. Por que as outras estão erradas. B: a expressão 4n - 1 não prevê 1 cadeira na primeira fila, pois para n = 1 ela dá 3. C: 3 + 4(n - 1) não é igual a 4n + 3, porque a distributiva gera -4 e não +4. D: 4(n - 1) + 3 é igual a 4n - 1, não a 4n - 4, pois o +3 não pode ser descartado. E: as expressões são equivalentes para todo n inteiro positivo, inclusive n = 1, não apenas a partir de n = 2.

💡 Dica: Compare as expressões simplificando cada uma para verificar equivalência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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