Durante uma atividade de orientação em uma reserva natural, uma equipe representa em um mapa o trajeto entre…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma atividade de orientação em uma reserva natural, uma equipe representa em um mapa o trajeto entre dois pontos por um triângulo retângulo. Os deslocamentos perpendiculares medidos inicialmente são de 9 km e 12 km, e o segmento em linha reta entre os pontos corresponde à hipotenusa. Em uma nova rota, o deslocamento de 9 km passa a ser de 12 km, enquanto o outro permanece igual. Com base nessa mudança, qual será o comprimento do novo segmento em linha reta e quanto ele aumentará em relação ao segmento inicial?
- A) O novo segmento medirá 24 km, aumentando 9 km em relação aos 15 km iniciais.
- B) O novo segmento medirá 12 raiz quadrada de 2 km, aproximadamente 16,97 km, aumentando cerca de 1,97 km em relação aos 15 km iniciais.
- C) O novo segmento medirá aproximadamente 12,49 km, diminuindo cerca de 2,51 km em relação aos 15 km iniciais.
- D) O novo segmento medirá 288 km, aumentando 273 km em relação aos 15 km iniciais.
- E) O novo segmento medirá 15 km, sem aumento em relação aos 15 km iniciais.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. Na primeira rota, os catetos são 9 km e 12 km. Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa é a raiz de (9^2 + 12^2) = raiz de (81 + 144) = raiz de 225 = 15 km, que confere com o enunciado. Passo 2: Na nova rota, os dois catetos passam a medir 12 km. A nova hipotenusa é a raiz de (12^2 + 12^2) = raiz de (144 + 144) = raiz de 288 = 12 raiz de 2 km, aproximadamente 16,97 km (raiz de 2 é cerca de 1,4142, e 12 vezes 1,4142 é cerca de 16,97). Passo 3: O aumento em relação ao segmento inicial é 12 raiz de 2 - 15, ou seja, aproximadamente 16,97 - 15 = 1,97 km. Passo 4: Comparando com o gabarito oficial, a alternativa B está correta e coincide com o resultado obtido. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A soma os catetos (12 + 12 = 24) em vez de aplicar Pitágoras; a alternativa C erra ao calcular a raiz quadrada, chegando a uma raiz de 156 km, como se um dos quadrados valesse 12 em vez de 144; a alternativa D esquece de extrair a raiz quadrada de 288; a alternativa E supõe que a hipotenusa não muda, ignorando que um dos catetos foi alterado.
💡 Dica: Calcule a hipotenusa inicial e a nova usando a soma dos quadrados dos catetos.
Alternativa por alternativa
Confunde a hipotenusa com a soma dos catetos, achando que o segmento em linha reta mede 12 + 12 = 24 km, o que é o perímetro do trajeto e não a distância direta.
Por que engana: Somar os catetos ou alterar o cateto errado ao calcular a nova hipotenusa.
Pelo Teorema de Pitágoras, a medida inicial é raiz quadrada de 9^2 + 12^2 = 15 km. Na nova rota, a hipotenusa mede raiz quadrada de 12^2 + 12^2 = 12 raiz quadrada de 2 km, aproximadamente 16,97 km; a diferença é cerca de 1,97 km.
Faz o cálculo de Pitágoras com erro numérico, obtendo raiz de 156 em vez de raiz de 288, provavelmente escrevendo 12 no lugar de 144 ao elevar 12 ao quadrado.
Calcula corretamente a soma dos quadrados (12^2 + 12^2 = 288), mas esquece de extrair a raiz quadrada e usa 288 como se fosse a medida do segmento.
Acredita que a distância em linha reta permanece igual a 15 km, como se a mudança de um dos deslocamentos não alterasse a hipotenusa, o que contraria o teorema de Pitágoras.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras.
Aplicar Pitágoras e
Quadrados e raízes quadradas. · Identificação dos catetos e da hipotenusa.
Comprimento da hipotenusa e comparação de medidas.
Somar os catetos ou alterar o cateto errado ao calcular a nova hipotenusa.
Educação ambiental.
Trajeto representado
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