Em uma estufa, uma equipe testou diferentes doses de um fertilizante e registrou a produtividade adicional, em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma estufa, uma equipe testou diferentes doses de um fertilizante e registrou a produtividade adicional, em unidades por canteiro. Para doses de 0, 4 e 8 unidades, as produtividades foram, respectivamente, 10, 66 e 58. No intervalo de doses de 0 a 5, a equipe modela essa relação por uma função quadrática. Considerando que o modelo quadrático passa pelos três registros e que a equipe pretende obter produtividade adicional de 64 unidades usando uma dose entre 0 e 5, qual dose atende ao objetivo?
- A) A dose que atende ao objetivo é aproximadamente 7,30 unidades.
- B) A dose que atende ao objetivo é 4 unidades.
- C) A dose que atende ao objetivo é aproximadamente 5,50 unidades.
- D) A dose que atende ao objetivo é aproximadamente 3,50 unidades.
- E) A menor dose que atende ao objetivo é aproximadamente 3,70 unidades.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Escrevemos a função quadrática como f(x) = ax^2 + bx + c, em que x é a dose e f(x) é a produtividade adicional. Com f(0) = 10, temos c = 10. Passo 2: Com f(4) = 66, temos 16a + 4b + 10 = 66, ou seja, 4a + b = 14. Passo 3: Com f(8) = 58, temos 64a + 8b + 10 = 58, ou seja, 8a + b = 6. Passo 4: Subtraindo as duas equações, 4a = -8, logo a = -2 e b = 22. A função é f(x) = -2x^2 + 22x + 10. Passo 5: Para a produtividade de 64, fazemos -2x^2 + 22x + 10 = 64, que dá -2x^2 + 22x - 54 = 0, ou x^2 - 11x + 27 = 0. Passo 6: Pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é 121 - 108 = 13, e as raízes são x = (11 - raiz de 13)/2, aproximadamente 3,70, e x = (11 + raiz de 13)/2, aproximadamente 7,30. Passo 7: Como o enunciado restringe o intervalo de doses a 0 até 5, só serve a raiz 3,70. Verificação: a função cresce de 10 até o vértice em x = 5,5, então atinge 64 exatamente uma vez no intervalo, em x aproximadamente 3,70. Passo 8: Conclusão: a alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 7,30 está fora do intervalo de 0 a 5. A alternativa B está errada porque a dose 4 produz 66, e não 64. A alternativa C está errada porque 5,50 é a abscissa do vértice, onde a produtividade é máxima, e não a dose que atinge 64. A alternativa D está errada porque 3,50 não é raiz da equação; resulta de uma aproximação grosseira de raiz de 13 por 4.
💡 Dica: Determine a função pelos três registros e resolva f(x)=64, restringindo x ao intervalo de 0 a 5.
Alternativa por alternativa
Encontrou a segunda raiz da equação, aproximadamente 7,30, e não verificou se ela pertence ao intervalo de 0 a 5 indicado no enunciado.
Por que engana: Usar apenas dois registros ou aceitar uma raiz fora do intervalo indicado.
Tomou a dose 4, que aparece na tabela de registros, como resposta, sem perceber que nessa dose a produtividade é 66 e não 64.
Confundiu a abscissa do vértice da parábola, 22/4 = 5,5, onde a produtividade é máxima, com a dose que atinge a produtividade de 64.
Calculou mal a raiz quadrada do discriminante, usando raiz de 13 como 4, o que dá (11 - 4)/2 = 3,5, e não o valor correto de cerca de 3,70.
Se P(x)=ax^2+bx+c, o registro em x=0 dá c=10. Os outros dois registros determinam a=-2 e b=22, portanto P(x)=-2x^2+22x+10. Igualando a 64, obtém-se x^2-11x+27=0, cujas raízes são (11-raiz quadrada de 13)/2, aproximadamente 3,70, e (11+raiz quadrada de 13)/2, aproximadamente 7,30. Apenas a primeira está no intervalo de doses indicado.
Raio-X da questão
Modelagem por função quadrática.
Determinar uma dose
Determinação dos coeficientes de uma função quadrática por pontos. · Resolução de equações do segundo grau.
Interpolação quadrática e resolução de equações do segundo grau.
Usar apenas dois registros ou aceitar uma raiz fora do intervalo indicado.
Sustentabilidade e produção agrícola.
Produtividade de uma
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