Em um estudo sobre a simetria de ramos laterais, biólogos registraram a distância horizontal x, em metros…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um estudo sobre a simetria de ramos laterais, biólogos registraram a distância horizontal x, em metros, entre cada ramo e o tronco e o número y de ramificações secundárias. Os dados observados foram organizados na tabela: distância x: -2, -1, 0, 1, 2; número de ramificações y: 6, 3, 2, 3, 6. Para fazer previsões fora do intervalo observado, os pesquisadores decidiram representar a relação por uma função polinomial quadrática da forma y = ax² + bx + c, escolhendo os coeficientes que reproduzem os dados da tabela. Com base nos dados da tabela e no modelo quadrático definido pelos pesquisadores, qual é o número previsto de ramificações secundárias para um ramo localizado a 3 metros do tronco?
- A) 7 ramificações secundárias
- B) 5 ramificações secundárias
- C) 11 ramificações secundárias
- D) 9 ramificações secundárias
- E) 13 ramificações secundárias
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os pontos dados pela tabela: (-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3) e (2, 6). Observe que a tabela é simétrica em torno de x = 0, o que sugere que o termo em x (coeficiente b) é zero.
- Como o ponto (0, 2) pertence à parábola, substituindo x = 0 em y = ax² + bx + c obtemos c = 2.
- Use o ponto (1, 3): a(1)² + b(1) + 2 = 3, ou seja, a + b = 1.
- Use o ponto (2, 6): a(2)² + b(2) + 2 = 6, ou seja, 4a + 2b = 4, o que equivale a 2a + b = 2.
- Subtraindo a equação a + b = 1 de 2a + b = 2, obtemos a = 1 e, portanto, b = 0. Logo, o modelo é y = x² + 2.
- Verifique com os outros pontos: para x = -1, y = 1 + 2 = 3; para x = -2, y = 4 + 2 = 6. Ambos conferem com a tabela.
- Para um ramo a 3 metros do tronco, x = 3, então y = 3² + 2 = 9 + 2 = 11 ramificações secundárias. A alternativa C está correta, em concordância com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a A (7) e a D (9) não consideram corretamente o termo constante c = 2; a B (5) e a E (13) não correspondem ao modelo quadrático determinado pelos pontos.
💡 Dica: Observe o padrão simétrico dos valores de y em relação a x e estenda para x=3.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente calculou 3² e subtraiu 2 em vez de somar, usando y = x² - 2, o que erra o sinal do termo constante determinado por (0, 2).
O aluno provavelmente ignorou o termo quadrático e tratou a relação como linear (y = x + 2), extrapolando a tendência dos pontos próximos sem considerar a curvatura da parábola.
Como os valores são simétricos em relação a x = 0, o termo linear é nulo, de modo que a função pode ser escrita como y = ax² + c. Para x = 0, a tabela fornece y = 2, portanto c = 2. Para x = 1, y = 3, então a + 2 = 3, o que implica a = 1. Assim, o modelo é y = x² + 2. Para x = 3, obtém-se y = 3² + 2 = 11.
O aluno provavelmente calculou apenas 3² = 9 e esqueceu de somar o termo constante c = 2 do ponto (0, 2), assumindo y = x².
O aluno provavelmente errou os coeficientes ao resolver o sistema, por exemplo atribuindo um valor incorreto a c (como 4) ou a a, o que leva a um modelo que não reproduz a tabela.
Raio-X da questão
padrão simétrico função
diagnostico
reconhecimento de padrões · função matemática básica
Estude padrões numéricos e funções simétricas.
O aluno pode confundir o padrão simétrico e calcular incorretamente o valor para x=3.
pensamento_critico
cientifico
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