Em um projeto de revitalização de uma praça pública, uma equipe criou um mosaico quadrado para orientar o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de revitalização de uma praça pública, uma equipe criou um mosaico quadrado para orientar o fluxo de visitantes. O desenho original do mosaico ocupa uma área de 24 cm^2. Para produzir uma versão ampliada, cada distância entre o centro de homotetia e os pontos do desenho será multiplicada por 3, sem alterar o formato do mosaico. Considerando a transformação homotética descrita no texto-base, qual será a área da versão ampliada do mosaico?
- A) A área da versão ampliada será de 8 cm^2.
- B) A área da versão ampliada será de 72 cm^2.
- C) A área da versão ampliada será de 48 cm^2.
- D) A área da versão ampliada será de 27 cm^2.
- E) A área da versão ampliada será de 216 cm^2.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Na homotetia de razão 3, cada distância entre o centro de homotetia e os pontos do desenho é multiplicada por 3, então todas as dimensões lineares do mosaico (lados, por exemplo) também são multiplicadas por 3. A figura ampliada é semelhante à original, com razão de semelhança 3.
- Em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Logo, a área é multiplicada por 3^2 = 9, e não por 3.
- Área ampliada = 24 vezes 9 = 216 cm^2. Resolvi a questão sem depender do gabarito, e o resultado coincide com a alternativa E, que é o gabarito oficial.
- A alternativa A está errada porque divide a área por 3 em vez de multiplicá-la. A alternativa B está errada porque multiplica a área apenas por 3, como se ela crescesse na mesma proporção que as distâncias. A alternativa C está errada porque não corresponde a nenhuma multiplicação coerente da área pela razão 3. A alternativa D está errada porque corresponde a 3 elevado ao cubo, fator de volume e não de área.
💡 Dica: elevar fator de escala ao quadrado para area
Alternativa por alternativa
O aluno aplicou a razão 3 como divisão (24 dividido por 3) e ignorou que a ampliação aumenta a área. Também pode ter confundido ampliação com redução.
O aluno acredita que a área cresce na mesma proporção que as distâncias, multiplicando 24 por 3. Ele não percebe que a área depende do quadrado da razão de semelhança.
Por que engana: multiplicar area pelo fator linear em vez do quadrado
O aluno interpretou mal a ampliação e somou ou dobrou a área original (24 + 24 = 48), como se o aumento fosse uma soma em vez de um fator multiplicativo de 3.
O aluno elevou a razão 3 ao cubo (3^3 = 27), fator usado para volumes em sólidos, e aplicou esse fator a uma área plana. Também pode ter somado 24 + 3.
Na homotetia de razão 3, as medidas lineares são multiplicadas por 3 e as áreas são multiplicadas por 3^2. Assim, 24 x 9 = 216 cm^2.
Raio-X da questão
homotetia e area proporcionalidade
calcular area apos h
calculo de area de figuras planas · relações entre lados e escalas
proporcionalidade e area de figuras
multiplicar area pelo fator linear em vez do quadrado
raciocinio logico
persistencia
situacao cotidiana d
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