Uma cooperativa de comunicação visual criou um símbolo para orientar visitantes em um centro cultural. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de comunicação visual criou um símbolo para orientar visitantes em um centro cultural. O desenho original ocupa uma área de 18 cm². Para produzir uma versão ampliada, o símbolo será submetido a uma homotetia de centro fixo e razão 3, sem deformar sua forma. Qual será a área ocupada pela versão ampliada do símbolo?
- A) A área da nova figura será 81 cm².
- B) A área da nova figura será 72 cm².
- C) A área da nova figura será 162 cm².
- D) A área da nova figura será 54 cm².
- E) A área da nova figura será 36 cm².
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o que a homotetia faz com as medidas. Na homotetia de razão k, as dimensões lineares (comprimentos) são multiplicadas por k, mas as áreas são multiplicadas por k ao quadrado.
- Aqui a razão é k = 3. Logo, a razão das áreas é k^2 = 3^2 = 9.
- A área original é 18 cm². Multiplicando pela razão das áreas: 18 x 9 = 162 cm².
- Assim, a área da versão ampliada é 162 cm², que corresponde à alternativa C. O gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A (81 cm²) resulta de elevar a razão ao quadrado sem multiplicar pela área original; B (72 cm²) equivale a 18 x 4, o que daria razão 4 e não 3; D (54 cm²) equivale a 18 x 3, multiplicando a área pela razão em vez do quadrado dela; E (36 cm²) equivale a 18 x 2, fator que não corresponde à razão 3 da homotetia.
💡 Dica: elevar a razão ao quadrado para encontrar a nova área
Alternativa por alternativa
O aluno calculou apenas 3 ao quadrado, obtendo 9 ou 81, e não aplicou esse fator sobre a área original de 18 cm². Ele ignorou o dado do enunciado.
O aluno usou um fator de 4 em vez de 9, possivelmente somando 1 à razão 3 ou confundindo a razão com outro número. O resultado 72 vem de 18 x 4.
Na homotetia, os comprimentos são multiplicados por 3, e as áreas são multiplicadas pelo quadrado desse fator. Portanto, a nova área é 18 x 3^2 = 162 cm².
O aluno multiplicou a área pela própria razão (18 x 3 = 54), como se a área crescesse na mesma proporção que os lados. Isso confunde o comportamento da área com o das medidas lineares.
Por que engana: usar a razão da homotetia diretamente para área em vez do seu quadrado
O aluno aplicou um fator de 2 (18 x 2 = 36), talvez por intuição de que ampliar dobra a medida, sem relacionar esse fator à razão 3. Não há base no enunciado para esse valor.
Raio-X da questão
homotetia e área em figuras planas
calcular área após h
noção de área · razão e proporção
proporcionalidade e potência
usar a razão da homotetia diretamente para área em vez do seu quadrado
simples para alunos
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