Durante uma oficina de matemática experimental, estudantes receberam dois conjuntos de sólidos geométricos…

Questão

Durante uma oficina de matemática experimental, estudantes receberam dois conjuntos de sólidos geométricos transparentes: em um conjunto, sólidos pequenos, e no outro, versões maiores, porém idênticas na forma. Os estudantes constataram que, escolhendo qualquer sólido do conjunto pequeno e sua respectiva versão maior, todas as dimensões (comprimento, largura e altura) do maior eram o dobro das correspondentes do menor. Ao encherem o sólido pequeno com água e despejarem no sólido maior, perceberam que o procedimento deveria ser repetido várias vezes até preencher totalmente o volume do maior. Intrigados, os estudantes discutiram como explicar matematicamente essa relação entre os volumes. Considerando a experiência descrita no texto-base, explique por que, se um sólido maior é semelhante a outro menor e todas as dimensões do maior são múltiplos das do menor por uma razão comum, o volume do sólido maior é multiplicado pelo cubo dessa razão em relação ao volume do sólido menor. Argumente de modo geral utilizando razões lineares, explicando por que dois sólidos semelhantes sempre têm volumes proporcionais ao cubo da razão entre suas dimensões lineares.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Em sólidos semelhantes, todas as dimensões lineares (comprimento, largura e altura) do maior são obtidas multiplicando as do menor por uma mesma razão r. O volume de um sólido é calculado multiplicando suas três dimensões lineares. Assim, se cada dimensão do sólido maior é r vezes a do menor, seu volume será r x r x r = r^3 vezes o volume do menor. Portanto, de forma geral, dois sólidos semelhantes possuem volumes proporcionais ao cubo da razão linear entre suas dimensões correspondentes, porque o volume depende do produto das três dimensões lineares, todas multiplicadas pela mesma razão.

Explicação

A pergunta não exige mais cálculo usando o exemplo numérico 2^3 = 8, e se detém à demonstração geral da proporcionalidade dos volumes pelo cubo da razão linear, alinhado ao cálculo de volumes de sólidos semelhantes conforme indicado pelo BNCC EM13MAT309.

Raio-X da questão

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