— Se a campanha durar mais meses, como prever a quantidade de etiquetas sem contá-las uma a uma? — perguntou…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Se a campanha durar mais meses, como prever a quantidade de etiquetas sem contá-las uma a uma? — perguntou um voluntário do posto de arrecadação. A coordenadora explicou que cada mês recebe uma nova organização das caixas, mantendo 5 etiquetas destinadas à identificação do posto. Nos cinco primeiros meses, foram usadas, respectivamente, 7, 11, 17, 25 e 35 etiquetas ao todo. Ela observou que os acréscimos entre meses consecutivos são 4, 6, 8 e 10 etiquetas. Para planejar a compra, o grupo decidiu representar por P(n) o total de etiquetas no mês n, considerando o primeiro mês como n = 1. Analise os dados apresentados e determine a expressão algébrica que permite calcular P(n) para qualquer mês n.
- A) P(n) = n^2 + 2n + 4
- B) P(n) = 2n^2 + 3
- C) P(n) = n^2 + n + 4
- D) P(n) = 2n^2 - 2n + 7
- E) P(n) = n^2 + n + 5
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Os totais por mês são P(1)=7, P(2)=11, P(3)=17, P(4)=25 e P(5)=35. Os acréscimos entre meses consecutivos são 4, 6, 8 e 10. Passo 2: As diferenças dos acréscimos são 2, 2, 2, ou seja, a diferença segunda é constante e igual a 2. Isso indica que P(n) é uma função quadrática com coeficiente de n^2 igual a 2 dividido por 2, isto é, 1. Assim, P(n) = n^2 + bn + c. Passo 3: Usando P(1)=7, temos 1 + b + c = 7, logo b + c = 6. Usando P(2)=11, temos 4 + 2b + c = 11, logo 2b + c = 7. Subtraindo, b = 1 e c = 5. Portanto P(n) = n^2 + n + 5. Passo 4: Verificação com os demais meses: P(3) = 9 + 3 + 5 = 17; P(4) = 16 + 4 + 5 = 25; P(5) = 25 + 5 + 5 = 35. Todos conferem com os dados do enunciado. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A não serve porque P(2) daria 12, não 11; B não serve porque P(1) daria 5, não 7; C não serve porque P(1) daria 6, não 7; D não serve porque P(3) daria 19, não 17. O gabarito oficial E está correto. A informação das 5 etiquetas fixas já está incluída nos totais dados, então não precisa ser somada novamente.
💡 Dica: Observe a sequência dos acréscimos e formule a expressão algébrica para P(n).
Alternativa por alternativa
O aluno ajusta a expressão com a fórmula geral de segundo grau, mas erra o termo independente ou o coeficiente linear e confere apenas P(1), sem testar P(2). Assim, P(2) resulta em 12 e não em 11.
O aluno confunde a diferença segunda (que é 2) com o coeficiente de n^2, usando 2n^2, e também ignora os termos em n, admitindo que P(n) só tenha termos quadrático e constante.
O aluno acerta o coeficiente de n^2 e o termo em n, mas calcula mal o termo constante, usando 4 em vez de 5. Com isso, P(1) dá 6 e não 7, e o erro passa despercebido porque não há checagem dos dados.
O aluno usa 2n^2 porque associa a diferença de 2 ao coeficiente 2 e ajusta os demais termos para bater apenas com P(1) e P(2). Não verifica P(3), que daria 19 em vez de 17.
Correta. Os acréscimos pares sucessivos levam a n^2 + n, e as 5 etiquetas fixas completam P(n) = n^2 + n + 5.
Raio-X da questão
progressão aritmética, expressão algébrica
diagnostico
progressão aritmética · expressão algébrica
Estude progressões aritméticas e como expressar termos gerais por fórmulas algébricas.
Confundir a sequência dos acréscimos com os valores totais ou não identificar a progressão aritmética subjacente.
pensamento_critico
cotidiano
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