— Os registros da campanha cresceram, mas não no mesmo ritmo — observou a coordenadora de um centro cultural…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Os registros da campanha cresceram, mas não no mesmo ritmo — observou a coordenadora de um centro cultural que planeja novas oficinas gratuitas. Para estimar a procura, ela organizou os dados de inscrições, em centenas, nas primeiras semanas após a divulgação: na semana 0, foram registradas 120; na semana 1, 135; e, na semana 2, 146. Considerando que a relação entre o número de semanas x e as inscrições f(x) pode ser descrita por um polinômio de segundo grau, a coordenadora usará esse modelo para planejar a quantidade de monitores necessária nas semanas seguintes. Com base nos registros apresentados, identifique a função f(x) que representa o número de inscrições, em centenas, após x semanas de divulgação.
- A) f(x)=-4x^2+19x+120
- B) f(x)=-2x^2+15x+120
- C) f(x)=-2x^2+11x+120
- D) f(x)=-2x^2+17x+120
- E) f(x)=2x^2+13x+120
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como o modelo é um polinômio de segundo grau, f(x) = ax^2 + bx + c. Os dados são f(0) = 120, f(1) = 135 e f(2) = 146.
- Por f(0) = 120, temos c = 120, pois substituir x = 0 elimina os termos em x.
- Por f(1) = 135, temos a + b + 120 = 135, ou seja, a + b = 15.
- Por f(2) = 146, temos 4a + 2b + 120 = 146, ou seja, 4a + 2b = 26, o que equivale a 2a + b = 13.
- Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos (2a + b) - (a + b) = 13 - 15, logo a = -2. Então b = 15 - (-2) = 17.
- Portanto f(x) = -2x^2 + 17x + 120, que é a alternativa D.
- Verificação: f(1) = -2 + 17 + 120 = 135 e f(2) = -8 + 34 + 120 = 146, ambos corretos.
- A alternativa A está errada porque, com a = -4 e b = 19, f(2) daria 142, e não 146. A alternativa B está errada porque f(1) daria 133, e não 135. A alternativa C está errada porque f(1) daria 129, e não 135. A alternativa E está errada porque o coeficiente de x^2 tem sinal positivo, o que faria f(2) valer 154.
- O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Use os pontos dados para montar um sistema e encontrar o polinômio de segundo grau.
Alternativa por alternativa
O aluno acertou a condição f(1) = 135, mas errou ao resolver o sistema de equações, obtendo a = -4 e b = 19. Não conferiu o resultado em f(2).
O aluno calculou o termo em x tomando a diferença f(1) - f(0) = 15 como b, e ignorou a contribuição do termo quadrático na soma a + b = 15.
O aluno confundiu o coeficiente b com a diferença entre f(2) e f(1), que é 11, tratando a variação entre valores consecutivos como se fosse o coeficiente linear.
Substituindo x por 0, 1 e 2, obtêm-se 120, 135 e 146. O modelo reproduz os três registros apresentados.
O aluno errou o sinal do coeficiente de x^2, tornando-o positivo. Com isso, f(2) daria 154, e não 146, e o modelo perderia a concavidade para baixo que o crescimento desacelerado sugere.
Raio-X da questão
função polinomial segundo grau
diagnostico
função polinomial · sistema de equações
estude funções quadráticas e sistemas de equações
Confundir função linear com função quadrática ou errar ao montar o sistema para encontrar os coeficientes.
pensamento_critico
cotidiano
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