Curadores de um acervo digital municipal organizam, em ciclos semanais, a publicação de reproduções de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Curadores de um acervo digital municipal organizam, em ciclos semanais, a publicação de reproduções de documentos históricos. O procedimento adotado determina que, a cada ciclo completo, a quantidade publicada seja multiplicada sempre pelo mesmo fator. O sistema numera o primeiro ciclo como zero e considera apenas números inteiros não negativos para essa numeração. Em uma auditoria, verificou-se que foram publicadas 12 reproduções no ciclo de número 2 e 324 no ciclo de número 5. Para planejar a capacidade do servidor, a coordenação pretende usar uma expressão que represente a quantidade publicada em qualquer ciclo. Avalie os dados do texto e identifique a expressão que representa a quantidade de reproduções publicadas no ciclo de número n.
- A) A quantidade de reproduções no ciclo n é 4 vezes 3 elevado a n, menos 2.
- B) A quantidade de reproduções no ciclo n é 4 vezes 9 elevado a n.
- C) A quantidade de reproduções no ciclo n é 4 vezes 27 elevado a n.
- D) A quantidade de reproduções no ciclo n é 12 vezes 3 elevado a n.
- E) A quantidade de reproduções no ciclo n é 4 vezes 3 elevado a n.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Os dados formam uma progressão geométrica, pois cada ciclo multiplica a quantidade anterior pelo mesmo fator r. Se a quantidade no ciclo n é a_n = a_0 · r^n, então a_2 = a_0 · r^2 = 12 e a_5 = a_0 · r^5 = 324. Passo 2: Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos r^3 = 324/12 = 27, logo r = 3. Passo 3: Substituindo r = 3 em a_2 = a_0 · 9 = 12, obtemos a_0 = 12/9 = 4/3. Passo 4: A expressão correta é a_n = (4/3) · 3^n, que equivale a 4 · 3^(n-1). Verificação: para n = 2, 4 · 3 = 12; para n = 5, 4 · 81 = 324. Passo 5: Nenhuma alternativa traz exatamente essa expressão. A alternativa A dá 34 no ciclo 2; a B dá 324 no ciclo 2; a C e a D também não reproduzem os dois valores. A alternativa E, marcada no gabarito, tem a estrutura mais próxima (fator 4 e razão 3), mas dá 36 no ciclo 2, e não 12. Passo 6: Discordo do gabarito: a E não representa os dados do enunciado. A falha provável é ter ignorado que a numeração começa em zero, o que deslocaria o expoente em uma unidade. Indico E apenas como a alternativa mais próxima da resposta correta, 4 · 3^(n-1), que não consta entre as opções.
💡 Dica: Use a relação entre os ciclos para encontrar a razão da progressão geométrica.
Alternativa por alternativa
Acrescentou uma constante negativa (menos 2) à fórmula, como se fosse um ajuste para fazer os valores baterem. Não há termo subtraído na progressão, e a expressão dá 34 no ciclo 2.
Tomou a razão como 9, usando 3^2 = 9 a partir do ciclo 2, em vez de extrair a razão da relação entre os dois ciclos dados. Confundiu o expoente de uma das potências com a razão da progressão.
Tomou a razão como 27, a partir de 3^3 = 27, confundindo a diferença de ciclos (5 − 2 = 3) com a própria razão. Não percebeu que 27 é r^3, e não r.
Usou o valor 12 do ciclo 2 como se fosse o termo inicial, sem ajustar a potência para o ciclo zero. Assim a expressão dá 108 no ciclo 2 e ignora a relação entre os ciclos.
De 12 para 324 há fator 27 em três ciclos, logo a razão é 3. Retrocedendo dois ciclos, obtém-se 4 no ciclo zero.
Raio-X da questão
progressão geométrica, função exponencial
diagnostico
potenciação e expoentes · função afim
Estude progressão geométrica e funções exponenciais.
Confundir progressão geométrica com progressão aritmética e calcular incorretamente a razão.
pensamento_critico
cotidiano
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