Técnicos restauram uma vitrine destinada a expor uma peça de cerâmica e testam molduras em forma de pentágono…

Questão

Técnicos restauram uma vitrine destinada a expor uma peça de cerâmica e testam molduras em forma de pentágono regular. Em uma simulação, mantêm a forma da moldura e alteram apenas o comprimento l de cada lado. Os registros obtidos foram: l = 1: P = 5 e A = 1,72 l = 2: P = 10 e A = 6,88 l = 3: P = 15 e A = 15,48 l = 4: P = 20 e A = 27,53 Nessa tabela, P representa o comprimento total da borda, e A representa a região interna da moldura. Os valores de área foram arredondados para duas casas decimais. A equipe pretende desenhar, em um mesmo sistema de referência, gráficos que relacionem cada grandeza ao valor de l, considerando l não negativo. Interprete os registros da simulação e identifique a descrição dos gráficos de P e A em função de l que permite representar corretamente a variação das duas grandezas.

1. A) Os gráficos mostram P em reta decrescente pela origem e A em curva crescente, convexa e pela origem.
2. B) Os gráficos mostram P e A em retas crescentes pela origem.
3. C) Os gráficos mostram P em reta crescente pela origem e A em curva crescente, convexa e pela origem.
4. D) Os gráficos mostram P em reta crescente que não passa pela origem e A em curva crescente pela origem.
5. E) Os gráficos mostram P em curva crescente pela origem e A em reta crescente pela origem.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Como o pentágono é regular, o perímetro é a soma de seus 5 lados iguais, então P = 5 × l. Isso confirma a tabela: para l = 1, P = 5; para l = 2, P = 10; e assim por diante. Logo, P é uma função linear e crescente de l, cujo gráfico é uma reta que passa pela origem (P = 0 quando l = 0).
2. A área de um pentágono regular de lado l é A = (5/4) × l^2 × cotangente(36°), que equivale a aproximadamente 1,72 × l^2. Verificando com a tabela: para l = 1, A ≈ 1,72; para l = 2, A ≈ 1,72 × 4 = 6,88; para l = 3, A ≈ 1,72 × 9 = 15,48; para l = 4, A ≈ 1,72 × 16 = 27,53. Os valores batem com os registros, o que confirma a fórmula.
3. Como A depende de l ao quadrado, a área não cresce na mesma proporção que o lado. Dobrar l de 1 para 2 multiplica A por 4, não por 2. Por isso o gráfico de A é uma curva (um trecho de parábola) crescente, que passa pela origem (A = 0 quando l = 0) e tem concavidade voltada para cima, ou seja, é convexa. Ela cresce cada vez mais rápido à medida que l aumenta.
4. Juntando as duas descrições, o gráfico de P é uma reta crescente pela origem e o gráfico de A é uma curva crescente, convexa e pela origem. Isso corresponde exatamente à alternativa C, que também é o gabarito oficial.
5. Por que as outras estão erradas: A) P não decresce, pois aumentar o lado aumenta o perímetro; B) A não é uma reta, pois cresce com o quadrado de l; D) P passa pela origem, já que P = 5l; E) P é linear, não curvo, e A não é linear.

💡 Dica: Analise a relação entre lado, perímetro e área do pentágono regular.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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