— Se o sensor ficar em qualquer direção, como vamos encontrar os locais permitidos? — perguntou a monitora de…

Questão

— Se o sensor ficar em qualquer direção, como vamos encontrar os locais permitidos? — perguntou a monitora de uma exposição ao preparar a proteção de duas esculturas. No desenho da sala, os suportes P e Q estão a 8 cm um do outro; a escala foi escolhida para que 1 cm no desenho represente 1 m na sala. Por segurança, o sensor deverá ficar a exatamente 5 m de P e também a 5 m de Q. A monitora orientou a equipe a usar o compasso para marcar, no desenho, os conjuntos de posições que mantêm cada uma dessas distâncias. Em seguida, eles procurarão posições que pertençam aos dois conjuntos. Conclua, a partir da construção indicada no texto, quantos pontos do desenho podem representar locais para instalar o sensor.

1. A) Existe uma quantidade infinita de pontos que atendem às duas distâncias.
2. B) Existe um ponto que atende às duas distâncias.
3. C) Existem quatro pontos que atendem às duas distâncias.
4. D) Existem dois pontos que atendem às duas distâncias.
5. E) Existem zero pontos que atendem às duas distâncias.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Converter as distâncias para o desenho. Como 1 cm no desenho representa 1 m na sala, os 5 m de distância ao sensor correspondem a 5 cm no desenho. Assim, o sensor deve estar a 5 cm de P e a 5 cm de Q. Passo 2: Identificar os conjuntos de posições. Cada condição isolada define uma circunferência: o conjunto dos pontos a 5 cm de P é a circunferência de centro P e raio 5 cm, e o conjunto dos pontos a 5 cm de Q é a circunferência de centro Q e raio 5 cm. Passo 3: Analisar a posição relativa das circunferências. Os centros P e Q estão a 8 cm um do outro. Como os raios somam 10 cm, que é maior que 8 cm, e a diferença dos raios é 0, que é menor que 8 cm, as circunferências se cruzam em dois pontos. Passo 4: Confirmar com cálculo. O ponto médio de PQ está a 4 cm de cada centro. A distância do ponto médio até cada interseção é raiz de (5^2 - 4^2), que dá raiz de 9, ou seja, 3 cm. Há, portanto, um ponto acima e outro abaixo da reta PQ, simétricos em relação a ela. Passo 5: Conclusão. Existem exatamente dois pontos do desenho que pertencem aos dois conjuntos, ou seja, dois locais possíveis para o sensor. A alternativa A está errada, pois duas circunferências se cruzam em um número finito de pontos e não em uma região. A alternativa B está errada, pois só haveria um ponto se as circunferências fossem tangentes, o que exigiria distância de 10 cm entre P e Q. A alternativa C está errada, pois quatro pontos não são obtidos da interseção de apenas duas circunferências. A alternativa E está errada, pois as circunferências se intersectam, já que 8 cm é menor que a soma dos raios e maior que zero.

💡 Dica: Use a interseção de circunferências para encontrar os pontos que satisfazem as distâncias.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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