“Estamos demarcando dois pontos A e B no jardim, com distância de 6 metros entre eles”, explicou a paisagista…

Questão

“Estamos demarcando dois pontos A e B no jardim, com distância de 6 metros entre eles”, explicou a paisagista enquanto posicionava o compasso. A seguir, ela traçou um círculo de raio 3 m com centro em A e outro de raio 4 m com centro em B. Esses círculos indicam onde serão plantadas luminárias que precisam ficar, simultaneamente, a 3 m de A e a 4 m de B. Os traços ficaram visíveis no gramado. Analise o texto-base e determine quantos pontos de interseção os dois círculos apresentam, indicando as possíveis posições para as luminárias.

1. A) Um ponto de interseção
2. B) Dois pontos de interseção
3. C) Infinitos pontos de interseção
4. D) Três pontos de interseção
5. E) Nenhum ponto de interseção

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. A distância entre os centros A e B é d = 6 m, o raio do círculo centrado em A é r1 = 3 m e o raio do círculo centrado em B é r2 = 4 m. Os pontos procurados são os que estão a 3 m de A e a 4 m de B ao mesmo tempo, ou seja, a interseção dos dois círculos.
2. Compare d com a soma e a diferença dos raios. A soma dos raios é r1 + r2 = 3 + 4 = 7. A diferença dos raios em módulo é |r1 - r2| = |3 - 4| = 1. Como 1 < 6 < 7, a distância entre os centros está estritamente entre a diferença e a soma dos raios.
3. Conclua pela regra geométrica. Quando |r1 - r2| < d < r1 + r2, os dois círculos se cortam em exatamente dois pontos distintos. Assim, há dois pontos de interseção, e as luminárias podem ser colocadas em qualquer um deles.
4. Verifique os casos extremos. Se d fosse igual a 7 (soma) ou a 1 (diferença), haveria apenas um ponto de tangência. Se d fosse maior que 7 ou menor que 1, não haveria ponto. Se os centros coincidissem e os raios fossem iguais, haveria infinitos pontos. Nenhum desses casos ocorre aqui.
5. Conclusão. O gabarito B está correto. Os dois pontos de interseção são as duas posições possíveis para as luminárias, uma de cada lado da reta AB.
6. Por que as demais estão erradas: A) um ponto só ocorreria com tangência, o que exigiria d = 7 ou d = 1; C) infinitos pontos só ocorreriam se os círculos fossem coincidentes, o que não acontece com centros diferentes; D) não existem três pontos, porque dois círculos distintos se cortam no máximo em dois pontos; E) nenhum ponto ocorreria se d fosse maior que 7 ou menor que 1, mas 6 está dentro do intervalo.

💡 Dica: Use a definição de interseção de círculos e a distância entre centros para determinar o número de pontos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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