“O desenho precisa continuar indefinidamente, sem que apareçam frestas entre as peças”, explicou a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
“O desenho precisa continuar indefinidamente, sem que apareçam frestas entre as peças”, explicou a restauradora ao fornecedor encarregado de recompor um painel cerâmico. Todas as peças terão lados de mesmo comprimento e serão colocadas unindo lados inteiros. Em cada encontro interno do painel, o projeto exige um triângulo regular e duas cópias de um mesmo polígono regular. Para testar as possibilidades, o fornecedor utilizará a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados, dada por ((n-2)*180)/n graus. A composição aprovada deverá completar uma volta inteira em torno de cada encontro, sem sobreposição nem lacuna, para que o padrão possa ser prolongado pelo painel. Analise as condições do projeto e identifique a composição que pode se repetir em cada encontro interno, mantendo o ladrilhamento sem lacunas.
- A) Um triângulo regular e dois octógonos regulares.
- B) Um triângulo regular e dois decágonos regulares.
- C) Um triângulo regular e dois hexágonos regulares.
- D) Um triângulo regular e dois dodecágonos regulares.
- E) Um triângulo regular e dois pentadecágonos regulares.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O triângulo regular tem ângulos internos de 60 graus, pela fórmula ((3-2)*180)/3 = 60. Passo 2: Em cada encontro interno devem caber um triângulo e duas cópias do polígono, e a soma dos ângulos precisa dar uma volta completa de 360 graus, sem lacunas nem sobreposição. Assim, 60 + 2x = 360, o que dá x = 150 graus para o ângulo interno do polígono. Passo 3: Substituindo na fórmula ((n-2)*180)/n = 150, temos 180n - 360 = 150n, logo 30n = 360 e n = 12. O polígono é o dodecágono regular, que é a alternativa D. Passo 4: Conferindo as demais: a alternativa A (octógono, 135 graus) dá 60 + 270 = 330, sobrando lacuna; a alternativa B (decágono, 144 graus) dá 60 + 288 = 348, também com lacuna; a alternativa C (hexágono, 120 graus) dá 60 + 240 = 300, insuficiente; a alternativa E (pentadecágono, 156 graus) dá 60 + 312 = 372, ultrapassando a volta completa e causando sobreposição. Somente o dodecágono fecha exatamente 360 graus, e o gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Calcule os ângulos internos e verifique a soma para completar 360°.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente o ângulo do octógono (135 graus), mas não confere se a soma com o triângulo e os dois polígonos fecha exatamente 360 graus, achando que basta o polígono ser parecido com o da resposta.
O aluno aplica a fórmula do ângulo interno do decágono (144 graus) e não percebe que 60 + 2 x 144 = 348, deixando uma lacuna no encontro, por não verificar a condição de volta completa.
O aluno acredita que o hexágono, por ladrilhar o plano sozinho, também serve para completar o encontro junto com o triângulo, ignorando que 60 + 2 x 120 = 300 não fecha a volta.
O triângulo contribui com 60 graus e cada dodecágono, com 150 graus. A soma 60+150+150 é 360 graus, sem lacunas.
O aluno calcula o ângulo do pentadecágono (156 graus) e considera aceitável um encontro que ultrapassa 360 graus, sem perceber que 60 + 2 x 156 = 372 gera sobreposição.
Raio-X da questão
ladrilhamento com polígonos regulares
diagnostico
ângulos internos de polígonos regulares · soma dos ângulos em torno de um ponto
propriedades dos polígonos regulares e soma de ângulos
Confundir soma dos ângulos com ângulo individual ou não considerar a volta completa de 360°.
pensamento_critico
abstrato
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