— Se cada encontro do mosaico tiver apenas três peças, o desenho ficará mais limpo para o painel da biblioteca…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Se cada encontro do mosaico tiver apenas três peças, o desenho ficará mais limpo para o painel da biblioteca — explicou a artesã aos estudantes. Para testar a proposta, eles recortaram cópias de um único polígono regular, todas com o mesmo tamanho. A regra do painel exige que, em cada vértice interno, três peças se encontrem sem deixar espaços e sem se sobrepor. Os estudantes lembraram que os ângulos em torno de um ponto somam 360 graus e passaram a comparar os formatos disponíveis para escolher a peça adequada. Analise a condição descrita para os vértices do painel e identifique a peça que permite compor o ladrilhamento planejado.
- A) Um triângulo equilátero regular, pois três ângulos internos completam 360 graus.
- B) Um hexágono regular, pois três ângulos internos completam 360 graus.
- C) Um octógono regular, pois três ângulos internos completam 360 graus.
- D) Um quadrado regular, pois três ângulos internos completam 360 graus.
- E) Um pentágono regular, pois três ângulos internos completam 360 graus.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Em cada vértice interno, três peças iguais se encontram sem deixar espaços, e os ângulos em torno de um ponto somam 360 graus. Logo, cada ângulo interno da peça deve valer 360 / 3 = 120 graus. Passo 2: Em um polígono regular de n lados, o ângulo interno vale (n - 2) x 180 / n. Igualando a 120: (n - 2) x 180 = 120n, ou seja, 180n - 360 = 120n, o que dá 60n = 360 e n = 6. Passo 3: O polígono com 6 lados é o hexágono regular, cujo ângulo interno é (6 - 2) x 180 / 6 = 120 graus. Assim, a peça adequada é o hexágono regular, que é a alternativa B, igual ao gabarito oficial. Passo 4: Triângulo equilátero tem ângulo de 60 graus, e três deles somam 180 graus, o que deixa um espaço aberto. Passo 5: Quadrado tem ângulo de 90 graus, e três deles somam 270 graus, insuficiente. Passo 6: Pentágono regular tem ângulo de 108 graus, e três deles somam 324 graus, insuficiente. Passo 7: Octógono regular tem ângulo de 135 graus, e três deles somam 405 graus, o que ultrapassa 360 e provocaria sobreposição. Conclusão: somente o hexágono regular fecha exatamente 360 graus em cada vértice, sem lacunas e sem sobreposição.
💡 Dica: Calcule o ângulo interno do polígono e verifique se três ângulos somam 360°.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que três ângulos de 60 graus somam 360 graus, quando na verdade somam 180 graus. Ele aplicou a condição dos três ângulos sem calcular corretamente o valor do ângulo interno do triângulo.
Cada ângulo interno do hexágono regular mede 120 graus; três deles somam 360 graus e preenchem o vértice.
O aluno calcula o ângulo do octógono regular como 135 graus e considera que três deles completam 360 graus, sem perceber que a soma é 405 graus. Ele não verificou a soma final antes de escolher a peça.
O aluno pensa que, por o quadrado ser a forma mais simples de encaixe, três de seus ângulos de 90 graus fecham o vértice. Na verdade, a soma é 270 graus, deixando uma lacuna de 90 graus.
O aluno usa o ângulo interno do pentágono regular como 108 graus e não confere se três deles fecham 360 graus. A soma correta é 324 graus, o que deixa um espaço vazio no vértice.
Raio-X da questão
polígonos regulares e ângulos
diagnostico
ângulos internos de polígonos · soma dos ângulos em torno de um ponto
estudo dos ângulos internos de polígonos regulares
Confundir a soma dos ângulos internos com a soma dos ângulos em torno de um ponto, ou não calcular corretamente o ângulo do polígono.
pensamento_critico
cotidiano
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