Questões BNCC EM13MAT505

— Quero que as juntas do piso formem um desenho “redondo”, sem buracos — disse uma artesã ao montar um mostruário de peças para uma calçada.

No catálogo do fornecedor, todas as peças são polígonos regulares e têm o mesmo comprimento de lado, para que possam encostar perfeitamente. O aplicativo usado por ela informa os ângulos internos de cada peça: triângulo equilátero (60 graus), quadrado (90 graus), hexágono regular (120 graus), octógono regular (135 graus) e dodecágono regular (150 graus).

A artesã decidiu que, em cada vértice interno do piso, exatamente três peças devem se encontrar. Para não haver folgas nem sobreposições nesse ponto, a soma dos ângulos internos dessas três peças precisa completar uma volta inteira.

Considere a condição descrita no texto-base para um vértice interno do piso. Identifique a combinação de três peças do catálogo que permite o ladrilhamento do plano sem deixar espaços nem causar sobreposição nesse vértice.

Descrição de cena: o salão de eventos do centro comunitário de Vila da Serra tem formato de “L”, composto por dois retângulos unidos em um dos lados. O retângulo maior mede 10 m de largura por 6 m de comprimento e o retângulo menor mede 4 m por 3 m. A comunidade decidiu instalar placas de piso quadradas de 0,5 m de lado, cada uma cobrindo 0,25 m2.

Analise o texto-base e determine quantas placas de piso serão necessárias para cobrir todo o piso do salão?

Dados ilustrativos: Para valorizar o piso de um calçadão, foi projetado um ladrilhamento que combina ladrilhos regulares hexagonais de lado 10 cm com ladrilhos equiláteros também de lado 10 cm. No padrão adotado, cada hexágono fica totalmente rodeado por triângulos equiláteros, sem sobreposição nem espaço vazio.

Analise o texto-base e identifique quantos triângulos equiláteros circundam cada hexágono regular no ladrilhamento.

Pedestres admiravam o novo piso da praça central, composto por um padrão regular que alterna quadrados perfeitos e triângulos retângulos. Cada quadrado de 1 m de lado é acompanhado por dois triângulos retângulos de catetos de 1 m, formando um módulo repetido em todo o plano. A área total da praça é de 60 m², e o padrão ocupa-a completamente, sem sobra nem corte de peças.

Considere o padrão descrito no texto-base. Quantas peças triangulares são necessárias para revestir a praça inteira?

Dados ilustrativos: Um estudo de design de mosaicos regulares apresenta quatro polígonos regulares e suas medidas de ângulo interno: triângulo (60 graus), quadrado (90 graus), pentágono (108 graus) e hexágono (120 graus). Para cobrir uma superfície plana sem sobreposições ou falhas, o ângulo interno de cada polígono deve dividir 360 graus de forma exata.

Com base no texto-base, identifique qual polígono regular não pode formar um ladrilhamento regular do plano.

O piso do salão comunitário exibe um padrão geométrico regular constituído por módulos quadrados de 1 m². Cada módulo é formado por dois azulejos quadrados com lado de 0,5 m e quatro peças triangulares retângulas isósceles cujos catetos medem 0,5 m. O salão tem formato retangular, com comprimento de 4 m e largura de 3 m, de modo que os módulos se repetem sem sobras nem recortes.

Com base no texto-base, determine o número de peças triangulares necessárias para revestir todo o piso do salão.

Recorte histórico: No início do século XVII, o matemático Johannes Kepler investigou, em seus estudos de simetria, os ladrilhamentos regulares do plano. Ele observou que apenas alguns polígonos regulares podem preencher completamente a superfície sem sobreposição nem lacunas. Kepler registrou a exclusividade de três tipos de polígonos regulares para esse fim, o que fundamentou a teoria dos ladrilhamentos regulares.

Analise o texto-base e identifique quais polígonos regulares permitem um ladrilhamento regular do plano sem sobreposições nem lacunas.

Um levantamento recente apontou que a prefeitura planeja revestir o piso de uma galeria pública com um padrão de ladrilhamento que combina ladrilhos quadrados de 1 m de lado e ladrilhos triangulares retângulos (catetos de 1 m). Cada unidade do padrão utiliza um ladrilho quadrado e dois ladrilhos triangulares, cobrindo exatamente 2 m2. Para o projeto, a área total a cobrir é de 68 m2.

Analise o texto-base e determine quantos ladrilhos triangulares serão necessários para revestir toda a área da galeria.