— Por que os novos registros não usam datas? — perguntou uma estudante ao acompanhar a organização de um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Por que os novos registros não usam datas? — perguntou uma estudante ao acompanhar a organização de um acervo digital fictício de relatos de moradores. A responsável explicou que cada registro recebe um código de quatro caracteres. Os dois primeiros são letras diferentes, escolhidas entre A, B, C, D e E, e indicam a equipe que catalogou o relato. Os dois últimos são algarismos de 1 a 8. O último algarismo deve ser ímpar e não pode repetir o algarismo anterior. A regra impede confusões entre registros, mesmo quando relatos semelhantes são enviados no mesmo dia. Analise as regras de formação dos códigos descritas no texto e determine o número de códigos distintos que podem ser atribuídos aos registros.
- A) 700 códigos distintos.
- B) 560 códigos distintos.
- C) 480 códigos distintos.
- D) 640 códigos distintos.
- E) 280 códigos distintos.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os dois primeiros caracteres são letras diferentes escolhidas entre A, B, C, D e E. A primeira letra tem 5 opções e a segunda, 4 (diferente da primeira), totalizando 5 x 4 = 20 possibilidades. Passo 2: Os dois últimos caracteres são algarismos de 1 a 8, com o último ímpar e diferente do anterior. Para o último algarismo, há 4 opções ímpares (1, 3, 5, 7). Passo 3: Analisando o penúltimo algarismo (terceiro caractere do código), ele pode ser qualquer um dos 8 algarismos, mas o resultado depende de ele ser ímpar ou par. Se ele for ímpar (4 casos: 1, 3, 5, 7), o último algarismo deve ser ímpar e diferente dele, restando 3 opções: 4 x 3 = 12 pares. Se ele for par (4 casos: 2, 4, 6, 8), o último algarismo tem 4 opções ímpares, pois nenhuma coincide com ele: 4 x 4 = 16 pares. Logo, há 12 + 16 = 28 combinações possíveis para os dois algarismos. Passo 4: O total de códigos é 20 x 28 = 560, pelo princípio multiplicativo, já que as partes são independentes. Passo 5: Por isso a alternativa B está correta, e o gabarito oficial coincide com a resolução. A alternativa A está errada porque permite letras repetidas (25 x 28 = 700), contrariando a regra de letras diferentes. A alternativa C está errada porque considera 3 opções para o último algarismo em todos os casos, ignorando que o penúltimo par não impede nenhum ímpar. A alternativa D está errada porque ignora a restrição de não repetir o algarismo anterior (8 x 4 = 32 pares, 20 x 32 = 640). A alternativa E está errada porque trata as letras como um par sem ordem (C(5,2) = 10), o que contraria o fato de que a posição de cada letra importa para formar códigos distintos.
💡 Dica: Calcule as possibilidades para cada parte do código e multiplique.
Alternativa por alternativa
O aluno considerou que as duas letras podem se repetir, usando 5 x 5 = 25 possibilidades, e não percebeu que o enunciado exige letras diferentes.
Há 5 e 4 escolhas para as letras. Para os algarismos, há 4 vezes 3 casos após ímpar e 4 vezes 4 após par: 28. Assim, 5 vezes 4 vezes 28 resulta em 560.
O aluno supôs que o último algarismo tem sempre 3 opções, esquecendo que, quando o penúltimo algarismo é par, nenhuma das opções ímpares 1, 3, 5, 7 é bloqueada, o que leva a 24 pares em vez de 28.
O aluno ignorou a regra de que o último algarismo não pode repetir o anterior, contando 8 x 4 = 32 combinações de algarismos e obtendo 20 x 32 = 640.
O aluno tratou as duas letras como um conjunto sem ordem, usando 10 combinações em vez de 20 arranjos, e assim chegou a 10 x 28 = 280. Ele não percebeu que AB e BA formam códigos distintos.
Raio-X da questão
contagem combinatória códigos
diagnostico
princípios básicos de contagem · permutação simples
revisar princípios básicos de contagem e permutação
Confundir as restrições dos algarismos ímpares e repetição, levando a contagem incorreta.
pensamento_critico
cotidiano
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