— Para evitar filas no balcão, a biblioteca do bairro passou a usar um armário de devolução com abertura por…

Questão

— Para evitar filas no balcão, a biblioteca do bairro passou a usar um armário de devolução com abertura por senha — explicou a atendente. O usuário escolhe primeiro a posição do compartimento: uma das 4 colunas (A, B, C ou D) e uma das 6 linhas (1 a 6). Porém, o compartimento da coluna D na linha 6 está com defeito e não pode ser selecionado. Depois, o usuário cria um PIN de 4 algarismos para abrir a porta. Por segurança, o PIN não pode começar com 0, não pode repetir algarismos e deve terminar em um algarismo ímpar (os PINs que terminam em algarismo par ficam reservados para uso interno). Cada devolução gera um identificador completo formado pela posição do compartimento e pelo PIN criado. Com base no texto, conclua quantos identificadores completos diferentes podem ser gerados, considerando todas as escolhas possíveis de compartimento e de PIN.

1. A) 64400
2. B) 57960
3. C) 53760
4. D) 206640
5. E) 51520

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Contar os compartimentos. São 4 colunas e 6 linhas, o que dá 4 x 6 = 24 posições. Como a posição D6 está com defeito e não pode ser selecionada, restam 24 - 1 = 23 compartimentos válidos.
2. Contar os PINs válidos. O PIN tem 4 algarismos, com três regras: não começa com 0, não repete algarismos e termina em algarismo ímpar. Começando pelo último algarismo, que deve ser ímpar (1, 3, 5, 7 ou 9), há 5 escolhas. O primeiro algarismo deve ser de 1 a 9 e diferente do último, então há 8 escolhas (9 opções não nulas menos a que já foi usada no fim). O segundo algarismo pode ser qualquer um dos 10 menos os 2 já usados, então há 8 escolhas. O terceiro pode ser qualquer um dos 10 menos os 3 já usados, então há 7 escolhas. Total de PINs: 5 x 8 x 8 x 7 = 2240.
3. Como cada identificador combina uma posição com um PIN, o total é o produto: 23 x 2240 = 51520.
4. Comparação com o gabarito. O resultado 51520 corresponde à alternativa E, que é o gabarito oficial. Nenhuma discordância.
5. Por que as outras estão erradas. A (64400) equivale a 23 x 2800, e 2800 PINs indica que a restrição do primeiro algarismo ou a de não repetir algarismos não foi aplicada corretamente. B (57960) equivale a 23 x 2520, o que corresponde a permitir que o PIN comece com 0. C (53760) equivale a 24 x 2240, ou seja, o defeito no compartimento D6 foi ignorado. D (206640) não corresponde a nenhuma combinação correta de 23 ou 24 compartimentos com contagens válidas de PINs, indicando erro no cálculo ou na aplicação das restrições.

💡 Dica: Calcule o total de compartimentos válidos e depois o número de PINs possíveis com as restrições dadas, multiplicando os resultados.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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