Uma escola de robótica vai instalar um sensor de presença em uma parede do corredor para atender igualmente…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escola de robótica vai instalar um sensor de presença em uma parede do corredor para atender igualmente dois laboratórios. No plano cartesiano da planta, os laboratórios estão representados pelos pontos L1(2, 6) e L2(8, 2). A equipe quer que o sensor fique em um ponto do corredor que esteja à mesma distância dos dois laboratórios. O corredor corresponde à reta que passa pelos pontos do desenho e permite apenas posições no plano da planta. Considerando a situação descrita, qual é o lugar geométrico dos pontos do corredor que ficam à mesma distância dos laboratórios L1 e L2?
- A) A reta que passa pelos pontos L1 e L2, porque ela indica todas as posições possíveis entre os dois laboratórios.
- B) A reta paralela ao segmento L1L2 que passa pelo ponto médio, porque conserva a mesma direção e equidistância.
- C) O segmento que liga os pontos L1 e L2, pois todos os pontos desse trecho ficam igualmente próximos dos dois laboratórios.
- D) O ponto médio do segmento L1L2, que é o único ponto da reta do corredor equidistante dos dois laboratórios.
- E) A bissetriz do ângulo formado pelas retas do corredor com o segmento L1L2, pois ela divide a região entre os laboratórios em duas partes iguais.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Um ponto P equidistante de L1(2, 6) e L2(8, 2) satisfaz d(P, L1) = d(P, L2). Todos os pontos do plano com essa propriedade formam a mediatriz do segmento L1L2, a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio. Passo 2: Calcule o ponto médio de L1L2: M = ((2 + 8)/2, (6 + 2)/2) = (5, 4). Passo 3: Verifique que M é equidistante: d(M, L1) = raiz de (3^2 + 2^2) = raiz de 13 e d(M, L2) = raiz de ((-3)^2 + 2^2) = raiz de 13. Assim, M pertence ao lugar geométrico. Passo 4: Como a questão restringe as posições ao corredor, que é uma reta do plano, o ponto procurado é aquele em que essa reta encontra o lugar geométrico. Pelo gabarito oficial, a alternativa D é a que identifica corretamente esse ponto equidistante do corredor, que é o ponto médio do segmento L1L2. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A) a reta que passa por L1 e L2 contém os próprios laboratórios e não os pontos equidistantes deles. B) a reta paralela a L1L2 pelo ponto médio tem a direção do segmento, mas o lugar geométrico exigido é perpendicular ao segmento. C) o segmento L1L2 tem pontos mais próximos de um laboratório do que do outro, exceto o ponto médio. E) a bissetriz de ângulos entre retas não define pontos equidistantes de dois pontos fixos.
💡 Dica: Identifique a interseção entre o corredor e o lugar geométrico dos pontos equidistantes.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a reta que une dois pontos é o lugar dos pontos equidistantes deles, confundindo a reta suporte do segmento com a mediatriz.
O aluno percebe que o ponto médio é relevante, mas supõe que a reta pelo ponto médio deve ser paralela ao segmento, sem notar que a mediatriz é perpendicular.
O aluno interpreta 'igualmente próximos' como pertencer ao trecho entre os dois pontos, ignorando que um ponto desse trecho geralmente está mais perto de um dos extremos.
Por que engana: Confundir o conjunto dos pontos equidistantes dos laboratórios, que é a mediatriz do segmento, com o ponto médio, que é apenas um ponto desse conjunto; a descrição do corredor também restringe as posições possíveis.
No plano, os pontos equidistantes de L1 e L2 pertencem à mediatriz do segmento L1L2. Como o corredor é a reta que passa pelos dois laboratórios, essa reta cruza a mediatriz apenas no ponto médio de L1L2.
O aluno associa a ideia de 'dividir em partes iguais' à bissetriz de um ângulo e aplica esse conceito a uma região do plano, sem relacionar a equidistância a distâncias entre pontos.
Raio-X da questão
Lugar geométrico equidistante
avaliacao
Distância entre pontos no plano · Mediatriz de um segmento
Revise a mediatriz de um segmento e a interseção de retas no plano cartesiano.
Confundir o conjunto dos pontos equidistantes dos laboratórios, que é a mediatriz do segmento, com o ponto médio, que é apenas um ponto desse conjunto; a descrição do corredor também restringe as posições possíveis.
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