Em um centro de distribuição, duas áreas de retirada de encomendas foram marcadas nos pontos P(-2, 4) e Q(6…

Questão

Em um centro de distribuição, duas áreas de retirada de encomendas foram marcadas nos pontos P(-2, 4) e Q(6, 4) em um plano cartesiano. A administração quer instalar um painel digital em um ponto que fique à mesma distância de P e Q. Qual é o conjunto de pontos do plano que atende a essa condição?

1. A) A reta vertical x = 4, por ser perpendicular ao segmento PQ e passar pelo ponto de maior abscissa.
2. B) O ponto médio do segmento PQ, isto é, o ponto (2, 4).
3. C) A circunferência de centro em (2, 4) e raio igual à distância de P até Q.
4. D) A reta vertical x = 2, que é a mediatriz do segmento PQ.
5. E) A reta horizontal y = 4, por passar pelos dois pontos dados.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique a condição. Um ponto X(x, y) está à mesma distância de P(-2, 4) e Q(6, 4) quando dist(X, P) = dist(X, Q). Elevando ao quadrado: (x+2)^2 + (y-4)^2 = (x-6)^2 + (y-4)^2. Os termos em y^2 e em (y-4)^2 se cancelam, restando (x+2)^2 = (x-6)^2. Passo 2: Resolva a equação. Expandindo: x^2 + 4x + 4 = x^2 - 12x + 36, logo 16x = 32 e x = 2. Como y não aparece na equação, todo ponto de abscissa 2 satisfaz a condição, qualquer que seja y. Passo 3: Interprete geometricamente. O conjunto é a reta vertical x = 2, que é a mediatriz do segmento PQ: ela é perpendicular a PQ (PQ é horizontal) e passa pelo ponto médio (2, 4). Passo 4: Verifique um ponto. Para (2, 0), a distância a P é raiz de (16 + 16) = raiz de 32, e a distância a Q é raiz de (16 + 16) = raiz de 32, iguais. Passo 5: Analise as alternativas erradas. A) A reta x = 4 não serve: o ponto (4, 4) está a 6 de P e a 2 de Q. B) O ponto médio (2, 4) é apenas um dos infinitos pontos do conjunto, e não o conjunto inteiro. C) A circunferência de centro (2, 4) não garante distâncias iguais a P e Q para todos os seus pontos; o raio é arbitrário e a condição não é de distância ao centro. E) A reta y = 4 contém P e Q, mas nesses pontos a distância a um e a outro não é igual (só o ponto (2, 4) da reta satisfaz a condição). Conclusão: o gabarito D está correto.

💡 Dica: Identifique o lugar geométrico dos pontos equidistantes de P e Q.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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