Uma empresa quer posicionar uma torre de internet comunitária em um bairro. No mapa cartesiano, a escola está…

Questão

Uma empresa quer posicionar uma torre de internet comunitária em um bairro. No mapa cartesiano, a escola está no ponto A(-2, 4) e a unidade de saúde está no ponto B(6, 0). A torre deve ser instalada em um ponto do terreno que fique à mesma distância desses dois locais, para atender os dois com prioridade equivalente. Com base no texto-base, qual é o conjunto de pontos do terreno em que a torre pode ser instalada?

1. A) O ponto médio do segmento AB, pois ele é o único ponto que fica igualmente distante dos dois locais.
2. B) A reta que passa por A e B, já que qualquer ponto dessa reta mantém a mesma prioridade para os dois locais.
3. C) O segmento AB, porque todos os pontos sobre ele ficam na mesma distância da escola e da unidade de saúde.
4. D) A reta perpendicular a AB que passa por A, pois ela garante a mesma distância entre os dois pontos do terreno.
5. E) A mediatriz do segmento AB, pois ela reúne exatamente os pontos que ficam à mesma distância de A e de B.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. A torre deve estar a mesma distância de A(-2, 4) e B(6, 0). Pela definição de mediatriz, o conjunto de pontos do plano equidistantes de dois pontos é a mediatriz do segmento que os une. Logo, a resposta é a mediatriz de AB.
2. Calcule o ponto médio de AB: M = ((-2 + 6)/2, (4 + 0)/2) = (2, 2). A mediatriz passa por M.
3. Calcule o coeficiente angular de AB: (0 - 4)/(6 - (-2)) = -4/8 = -1/2. A mediatriz é perpendicular a AB, então seu coeficiente angular é 2.
4. Escreva a equação da mediatriz: y - 2 = 2(x - 2), ou seja, y = 2x - 2.
5. Verifique com um ponto da reta, por exemplo P(0, -2). A distância de P até A é raiz de (2^2 + 6^2) = raiz de 40. A distância de P até B é raiz de (6^2 + 2^2) = raiz de 40. São iguais, então a reta está correta.
6. Por que as outras estão erradas. A: o ponto médio é apenas um ponto da mediatriz, não o conjunto inteiro. B: a reta AB não contém os pontos equidistantes, pois, por exemplo, A está a distância zero de si mesmo e a distância AB de B. C: só o ponto médio do segmento AB é equidistante, não todos os seus pontos. D: a perpendicular por A não é o lugar geométrico da equidistância; o próprio A não é equidistante de A e B.
7. Conclusão: a alternativa correta é a E, e o gabarito oficial está correto.

💡 Dica: Identifique o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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