Em um mapa quadriculado, dois sensores estão nos pontos A = (-4, 0) e B = (4, 0). O ponto P = (0, 3) está à…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um mapa quadriculado, dois sensores estão nos pontos A = (-4, 0) e B = (4, 0). O ponto P = (0, 3) está à mesma distância dos dois sensores. Observe o esquema. Se o sensor B for deslocado para (6, 0), mantendo A fixo, a mediatriz de AB será alterada. Como essa mudança afeta a mediatriz dos sensores e a posição de P em relação a ela?
- A) A mediatriz passa de x = 0 para x = 1; assim, P deixa de pertencer a ela e fica mais próximo de A do que de B.
- B) A mediatriz muda de posição, mas P fica mais próximo de B do que de A.
- C) A mediatriz permanece na posição inicial, e P continua pertencendo a ela.
- D) A mediatriz passa para x = 5; P deixa de pertencer a ela e fica mais próximo de A.
- E) A mediatriz passa para x = 2; P deixa de pertencer a ela e fica mais próximo de A.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos equidistantes das extremidades. Ela passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele.
- Com o sensor B deslocado para (6, 0) e A fixo em (-4, 0), o segmento AB' é horizontal. Seu ponto médio é ((-4 + 6)/2, 0) = (1, 0). Como o segmento é horizontal, a perpendicular é vertical, logo a nova mediatriz é a reta x = 1.
- Verifique a posição de P = (0, 3). Distância de P até A: raiz de (0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2 = raiz de 16 + 9 = raiz de 25 = 5. Distância de P até B' = (6, 0): raiz de (0 - 6)^2 + (3 - 0)^2 = raiz de 36 + 9 = raiz de 45, que é maior que 5.
- Como PA < PB', P está mais perto de A. Além disso, P não pertence à nova mediatriz, porque a abscissa de P é 0 e não 1. Portanto a alternativa A está correta: a mediatriz passa de x = 0 para x = 1, P deixa de pertencer a ela e fica mais próximo de A.
- Por que as outras estão erradas: na B, P está do lado de A da mediatriz, e não do lado de B; na C, a mediatriz muda porque o sensor B se moveu; na D, o ponto médio foi calculado como (4 + 6)/2, trocando o sinal de -4; na E, o ponto médio foi calculado como 4/2, ignorando a coordenada negativa de A.
💡 Dica: Calcule o ponto médio de A e B após o deslocamento e verifique se P está equidistante dos sensores.
Alternativa por alternativa
A mediatriz de um segmento horizontal fica a meio caminho entre suas extremidades. Com A em -4 e B em 6, o ponto médio tem coordenada x = 1. Como P tem x = 0, não está nessa nova mediatriz; suas distâncias aos sensores são 5 e raiz quadrada de 45, respectivamente.
O aluno percebe que a mediatriz muda, mas inverte o lado em que P está: como P tem abscissa 0, ele acha que P fica do lado de B, quando na verdade a reta x = 1 deixa P à esquerda, do lado de A. Ele também não compara as distâncias PA = 5 e PB' = raiz de 45.
O aluno ignora que o sensor B foi deslocado e supõe que a mediatriz continua sendo x = 0, como na situação original. Com isso, conclui que P ainda é equidistante dos dois sensores.
Por que engana: Achar que a mediatriz permanece em x = 0 ou calcular incorretamente o novo ponto médio.
O aluno calcula o ponto médio entre -4 e 6 como (4 + 6)/2 = 5, trocando o sinal da coordenada de A. A conclusão sobre P estar mais perto de A está correta, mas a reta x = 5 está errada.
O aluno calcula o ponto médio tomando apenas o valor 4 da coordenada original de B, dividido por 2, e ignora a coordenada de A, o que dá x = 2. Ele não usa corretamente a média das duas abscissas atuais, -4 e 6.
Raio-X da questão
Mediatriz como lugar geométrico dos pontos equidistantes das extremidades de um segmento.
avaliacao
Ponto médio de um segmento no plano cartesiano. · Comparação de distâncias entre pontos no plano cartesiano.
Mediatriz de um segmento no plano cartesiano.
Achar que a mediatriz permanece em x = 0 ou calcular incorretamente o novo ponto médio.
abstrato
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