Luzes de segurança piscavam no corredor do museu após relatos de tentativa de acesso indevido. Para reforçar a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Luzes de segurança piscavam no corredor do museu após relatos de tentativa de acesso indevido. Para reforçar a proteção, foi instalado um teclado numérico que gera um código de quatro dígitos. Cada dígito deve ser escolhido entre os números de 1 a 9, sem repetição. Além disso, o primeiro dígito precisa ser ímpar para dificultar ataques automatizados. Dados ilustrativos: nenhum outro requisito. Identifique a quantidade de códigos possíveis que atendem às regras do texto-base.
- A) 1344
- B) 2520
- C) 1050
- D) 1680
- E) 3024
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique as restrições. O código tem 4 dígitos, cada um escolhido entre 1 e 9, sem repetição, e o primeiro dígito deve ser ímpar.
- Conte as opções para o primeiro dígito. Os ímpares entre 1 e 9 são 1, 3, 5, 7 e 9, ou seja, 5 opções.
- Conte as opções para os demais dígitos. Depois de usar um dígito na primeira posição, sobram 8 dígitos disponíveis. Para a segunda posição há 8 opções, para a terceira 7 e para a quarta 6.
- Multiplique pelo princípio multiplicativo. Total = 5 x 8 x 7 x 6 = 5 x 336 = 1680.
- Compare com o gabarito. Resolvi a questão sem usar o gabarito e cheguei a 1680, que é a alternativa D, portanto coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A (1344) conta apenas 4 ímpares, esquecendo um dos ímpares possíveis. B (2520) equivale a 5 x 9 x 8 x 7, ou seja, não desconta o dígito já usado na primeira posição ao contar a segunda. C (1050) não corresponde à contagem por arranjos correta, pois a ordem dos dígitos importa no código. E (3024) é 9 x 8 x 7 x 6, que ignora a exigência de primeiro dígito ímpar.
💡 Dica: Escolha primeiro um dígito ímpar e depois distribua os demais sem repetição.
Alternativa por alternativa
Considerou apenas 4 dígitos ímpares para a primeira posição, esquecendo que o 9 também é ímpar. Assim calculou 4 x 8 x 7 x 6 = 1344.
Na contagem da segunda posição, não descontou o dígito já usado no primeiro lugar, usando 9 opções em vez de 8. O cálculo 5 x 9 x 8 x 7 = 2520 reflete esse erro de método.
Por que engana: O erro mais provável é contar apenas quatro opções para o primeiro dígito ou permitir a repetição de números nas posições seguintes.
Errou o raciocínio das opções para os dígitos seguintes, provavelmente tratando a escolha como combinação (sem considerar a ordem) em parte do cálculo, o que reduz indevidamente a contagem para 1050.
São 5 opções ímpares para a primeira posição e depois 8×7×6 para as demais, totalizando 5×8×7×6 = 1680.
Ignorou a condição de que o primeiro dígito deve ser ímpar e tratou os quatro dígitos como se qualquer um de 1 a 9 pudesse ocupar a primeira posição. Assim calculou 9 x 8 x 7 x 6 = 3024.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo de contagem
avaliacao
Princípio fundamental da contagem · Permutações sem repetição
Revise o princípio multiplicativo e a contagem de escolhas sem repetição.
O erro mais provável é contar apenas quatro opções para o primeiro dígito ou permitir a repetição de números nas posições seguintes.
tomada_decisao
cotidiano
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