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Questão

— Meu aplicativo de finanças mostrou que uma taxa cobrada em parcelas dá 0,2(45) no total — disse Caio, olhando a tela. A irmã dele explicou que essa escrita significa 0,2454545..., isto é, depois da vírgula aparece um 2 e, em seguida, o bloco 45 se repete sem parar. Para ajudar, ela relembrou um caso mais simples anotado no caderno: Se y = 0,(45), então 100y = 45,(45). Subtraindo, 100y - y = 45, logo 99y = 45. Caio percebeu que, no número 0,2(45), existe um algarismo antes do período começar e que seria preciso “deslocar” a vírgula de um jeito diferente antes de fazer a subtração parecida com a do exemplo. Analise o procedimento anotado para 0,(45) e conclua a fração geratriz, na forma irredutível, que representa 0,2(45).

1. A) 45/99
2. B) 245/999
3. C) 27/110
4. D) 245/1000
5. E) 245/990

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Chame x = 0,2(45). O período é 45 (dois algarismos) e existe um algarismo não periódico, o 2, logo antes do período. Passo 2: Para que o período comece logo após a vírgula, multiplique por 10: 10x = 2,(45). Passo 3: Para levar um período inteiro à parte inteira, multiplique por 100 a expressão anterior: 1000x = 245,(45). Passo 4: Subtraia as duas igualdades para eliminar a parte periódica: 1000x - 10x = 245,(45) - 2,(45), o que dá 990x = 243. Logo x = 243/990. Passo 5: Simplifique dividindo numerador e denominador pelo mdc, que é 9: 243/9 = 27 e 990/9 = 110. Assim x = 27/110. Passo 6: Essa fração é irredutível, pois 27 = 3 elevado a 3 e 110 = 2 x 5 x 11, não têm fatores em comum. Passo 7: Verificação: 27/110 = 0,245454..., que coincide com 0,2(45). Por que as outras estão erradas: A) 45/99 é a geratriz de 0,(45), mas ignora o algarismo 2 que antes do período. B) 245/999 trata 245 como período, o que não corresponde a 0,2(45). D) 245/1000 trata o número como decimal exato, ignorando a dízima periódica. E) 245/990 usa o numerador 245 sem subtrair a parte não periódica 2, o que deveria gerar 243/990. Ressalva: o gabarito oficial C está correto, sem divergência.

💡 Dica: Use o método de fração geratriz para números decimais periódicos mistos.

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Raio-X da questão

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