Calcule a fração geratriz irredutível de 0,0454545..., em que o bloco 45 se repete indefinidamente a partir da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Calcule a fração geratriz irredutível de 0,0454545..., em que o bloco 45 se repete indefinidamente a partir da segunda casa decimal.
- A) A fração geratriz irredutível é 5/11.
- B) A fração geratriz irredutível é 9/200.
- C) A fração geratriz irredutível é 1/22.
- D) A fração geratriz irredutível é 5/111.
- E) A fração geratriz irredutível é 1/11.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a estrutura da dízima. O número 0,0454545... tem a parte não periódica 0,0 (a primeira casa decimal é 0) e a parte periódica 45, que se repete a partir da segunda casa decimal.
- Chame o número de x: x = 0,0454545...
- Desloque a vírgula para eliminar a parte não periódica. Multiplicando por 10, obtemos 10x = 0,454545..., que já tem o período 45 logo após a vírgula.
- Monte a equação para a parte periódica. Multiplicando 10x por 100, obtemos 1000x = 45,4545..., e com isso 1000x - 10x = 45,4545... - 0,4545..., ou seja, 990x = 45. Esse passo equivale a usar 45/99 = 5/11 para 10x.
- Isole x. Temos x = 45/990. Simplificando por 45, resulta x = 1/22, que é irredutível, pois 22 = 2 x 11 e 1 não tem fatores comuns com ele.
- Confira. 1/22 = 0,0454545..., o que bate com o número dado.
- Por que as outras alternativas estão erradas. A) 5/11 é o valor de 10x, esquecendo de dividir por 10 para voltar ao número original. B) 9/200 = 0,045 é um decimal exato, ignorando que a dízima continua indefinidamente. D) 5/111 vem de usar o período 45 com denominador 999, o que corresponde a 0,045045..., uma dízima de outro período. E) 1/11 = 0,0909... resulta de simplificar 5/110 de forma incorreta (dividindo 110 por 10 em vez de dividir por 5).
💡 Dica: Use a fórmula para fração geratriz de número decimal periódico composto.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou corretamente a fração 5/11 para 10x, mas esqueceu de desfazer o deslocamento da vírgula, dividindo por 10 para voltar a x.
Por que engana: Confundir a repetição do decimal e calcular a fração geratriz incorretamente, resultando em uma fração que não é irredutível.
O aluno tratou 0,045 como decimal exato e ignorou que os algarismos 45 se repetem indefinidamente, achando a fração 45/1000 simplificada para 9/200.
Se x = 0,0454545..., então 10x = 0,454545... e 1000x = 45,454545.... Subtraindo, 990x = 45, logo x = 45/990 = 1/22.
O aluno usou o denominador 999, típico de período de três algarismos, e escreveu 45/999 = 5/111, ignorando que o período é de dois algarismos e que existe uma casa não periódica antes dele.
O aluno obteve 5/110 corretamente, mas simplificou de forma errada, dividindo o denominador 110 por 10 em vez de simplificar por 5, chegando a 1/11.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
conversão de decimal para fração · números decimais periódicos
Revisar como transformar números decimais periódicos em frações geratrizes.
Confundir a repetição do decimal e calcular a fração geratriz incorretamente, resultando em uma fração que não é irredutível.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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