Durante a organização de um posto móvel de vacinação, a equipe utiliza uma lona triangular equilátera para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a organização de um posto móvel de vacinação, a equipe utiliza uma lona triangular equilátera para delimitar a área de triagem. A figura mostra a lona original, com os três lados medindo 6 m. Para atender a um número maior de pessoas, será produzida uma nova lona, com o mesmo formato e com cada lado medindo 12 m. A área coberta será usada para planejar o espaço interno, enquanto o perímetro servirá para calcular a quantidade de fita necessária para contornar toda a borda. Considerando as medidas da figura e a manutenção do formato triangular equilátero, qual é a relação entre a área e o perímetro da nova lona e os valores correspondentes da lona original?
- A) A área da nova lona é quatro vezes a área original, e seu perímetro é duas vezes o perímetro original.
- B) A área da nova lona é quatro vezes a área original, e seu perímetro é quatro vezes o perímetro original.
- C) A área da nova lona é oito vezes a área original, e seu perímetro é duas vezes o perímetro original.
- D) A área da nova lona é duas vezes a área original, e seu perímetro é quatro vezes o perímetro original.
- E) A área da nova lona é duas vezes a área original, e seu perímetro é duas vezes o perímetro original.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como a lona é triangular equilátera, a área de um triângulo equilátero de lado L é (raiz de 3 / 4) vezes L ao quadrado. Na lona original, L = 6 m, então a área é (raiz de 3 / 4) x 36 = 9 raiz de 3 m².
- Na nova lona, L = 12 m, então a área é (raiz de 3 / 4) x 144 = 36 raiz de 3 m². A razão entre as áreas é 36 raiz de 3 / 9 raiz de 3 = 4. Logo, a área da nova lona é quatro vezes a área original.
- O perímetro é a soma dos três lados. Na original, 3 x 6 = 18 m. Na nova, 3 x 12 = 36 m. A razão é 36 / 18 = 2, ou seja, o perímetro dobra.
- Portanto, a alternativa A está correta: área quatro vezes maior e perímetro duas vezes maior.
- A alternativa B está errada porque o perímetro cresce na mesma proporção do lado, não com o quadrado dessa proporção.
- A alternativa C está errada porque a área cresce com o quadrado do fator de escala 2, que é 4, e não com o cubo, que daria 8.
- A alternativa D está errada porque inverte os dois efeitos: a área não dobra e o perímetro não quadruplica.
- A alternativa E está errada porque, embora o perímetro dobre corretamente, a área não dobra, pois depende do quadrado da escala.
💡 Dica: Compare o fator de aumento dos lados e lembre que a area varia com o quadrado desse fator, enquanto o perimetro varia linearmente.
Alternativa por alternativa
O lado da nova lona mede 12 m, enquanto o lado da lona original mede 6 m. Portanto, a razão de semelhança é 12 ÷ 6 = 2. Em figuras semelhantes, os perímetros variam na razão de semelhança, logo o novo perímetro é 2 vezes o original. As áreas variam pelo quadrado dessa razão: 2² = 4. Assim, a nova área é 4 vezes a original.
O aluno acredita que o perímetro também quadruplica, aplicando o efeito de área ao perímetro. Não percebe que o perímetro é uma medida linear, proporcional ao lado.
O aluno calcula a área multiplicando o fator de escala 2 por três vezes, obtendo 8, em vez de elevar ao quadrado. Confunde o crescimento de área com o de volume.
O aluno inverte as relações: acredita que a área cresce linearmente com o lado (dobra) e que o perímetro cresce com o quadrado da escala (quadruplica).
O aluno aplica o fator de escala 2 diretamente à área, em vez de elevá-lo ao quadrado. Assim, acredita que a área dobra quando o lado dobra.
Por que engana: O aluno pode concluir que a area e o perimetro aumentam pelo mesmo fator, confundindo a variacao linear do perimetro com a variacao quadratica da area.
Raio-X da questão
Escala de area e perimetro
avaliacao
Calculo de area triangular · Calculo de perimetro
Revise como semelhanca e fator de escala afetam areas e perimetros de figuras geometricas.
O aluno pode concluir que a area e o perimetro aumentam pelo mesmo fator, confundindo a variacao linear do perimetro com a variacao quadratica da area.
saude
tomada_decisao
cotidiano
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