Uma cooperativa monta caixas sem tampa para kits de hortifruti, cortando quadrados de lado x de uma chapa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa monta caixas sem tampa para kits de hortifruti, cortando quadrados de lado x de uma chapa quadrada de 24 cm. O gráfico mostra a área lateral da caixa em função de x. De acordo com o gráfico, qual será o volume da caixa de maior área lateral?
- A) 864 cm³
- B) 288 cm³
- C) 432 cm³
- D) 1728 cm³
- E) 144 cm³
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Na caixa sem tampa, cada quadrado de lado x é retirado de um canto da chapa de 24 cm e as abas são dobradas. A base da caixa passa a ter lado 24 - 2x, e a altura é x.
- A área lateral são 4 faces retangulares, cada uma com área (24 - 2x) vezes x. Logo, A(x) = 4(24 - 2x)x = 96x - 8x². Esta é a função que o gráfico representa.
- A área lateral é máxima no vértice da parábola, em x = -b/(2a) = 96/16 = 6 cm. Na figura, o ponto de maior ordenada corresponde a x = 6 cm, com área lateral 4 x 12 x 6 = 288 cm².
- Para x = 6, a base tem lado 24 - 12 = 12 cm e a altura é 6 cm. O volume é V = 12 x 12 x 6 = 864 cm³, que é a alternativa A, gabarito oficial.
- A alternativa B (288 cm³) é o valor da área lateral máxima, e não o volume. A alternativa C (432 cm³) resulta de usar uma altura diferente de 6 cm. A alternativa D (1728 cm³) é 12 elevado a 3, o que equivale a tomar a altura igual ao lado da base. A alternativa E (144 cm³) é apenas a área da base, esquecendo a multiplicação pela altura.
💡 Dica: Analise o gráfico para identificar o valor de x que maximiza a área lateral e calcule o volume correspondente.
Alternativa por alternativa
A parábola tem máximo em x=6. A base fica 12 por 12 e a altura 6, então V=12·12·6.
O aluno leu o valor máximo do gráfico, que é a área lateral (288 cm²), e o tomou como resposta do volume, sem calcular a base e a altura da caixa.
O aluno usou um valor errado para a altura ou para o x de máximo, combinando a base de 12 cm com uma altura de 3 cm, ou seja, uma leitura incorreta do ponto de máximo no gráfico.
O aluno tratou a altura da caixa como igual ao lado da base (12 cm), montando um cubo de 12 cm de aresta, em vez de usar a altura x = 6 cm.
O aluno calculou apenas a área do fundo quadrado (12 x 12 = 144 cm²) e não multiplicou pela altura, confundindo área com volume.
Raio-X da questão
maximização de volume e área
avaliacao
funções quadráticas · cálculo de volume
Estude funções quadráticas e cálculo de volume de prismas.
Confundir a área lateral com o volume ou não interpretar corretamente o gráfico para encontrar o valor ótimo de x.
pensamento_critico
cotidiano
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