Para construir uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi usado um quadrado de cartolina de 12…

Questão

Para construir uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi usado um quadrado de cartolina de 12 cm de lado. Nessa cartolina, recortou-se um dodecágono com quatro lados medindo x cm e oito lados medindo (x/2 + y) cm. A caixa tem altura y e sua base é um quadrado de lado x. Observe as ilustrações: Sabe-se que o gráfico a seguir representa uma função polinomial de variável real definida por P(x) = -x^3 + a x^2, sendo a um número real positivo. Para x > 0, P(x) assume valor máximo em x_1 = 2a/3. Com base nessas informações, calcule o maior volume que essa caixa pode assumir. Calcule o maior volume que essa caixa pode assumir. (UERJ 2017)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

O lado do quadrado da cartolina, que mede 12 cm, corresponde a: \left( \frac{x}{2} + y \right) + x + \left( \frac{x}{2} + y \right) = 12 \; \therefore 2x + 2y = 12 \; \therefore y = 6 - x V = x^2 y V = x^2 (6 - x) \; \therefore V = - x^3 + 6x^2. \textit{a} = 6 V_{Máx} ocorre para x = 4 V_{Máx} = x^2 (6 - x) = 4^2 (6 - 4) = 32 \text{ cm}^3

Explicação

Expressar o volume em função de uma única variável usando a restrição dada pela cartolina, derivar essa função, encontrar os pontos críticos e determinar o máximo.

Raio-X da questão

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