A figura mostra uma embalagem em bloco retangular usada por um banco de alimentos. A altura é 30 cm. No…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A figura mostra uma embalagem em bloco retangular usada por um banco de alimentos. A altura é 30 cm. No software de corte, a soma entre largura e profundidade da base deve ser 18 cm para manter o gasto de papelão. De acordo com a figura, qual é o volume máximo da caixa?
- A) 2160 cm³
- B) 2430 cm³
- C) 2700 cm³
- D) 4860 cm³
- E) 1620 cm³
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. A altura da caixa é h = 30 cm. Largura e profundidade da base são x e y, com x + y = 18 cm. O volume é V = x · y · h = 30 · x · y.
- Como a soma x + y é fixa, o produto x · y é máximo quando os dois lados são iguais. Escrevendo y = 18 - x, temos x · y = x · (18 - x) = 18x - x^2. Esta é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice está em x = 9.
- Com x = 9 e y = 9, a base é um quadrado de área 81 cm². O volume máximo é V = 81 · 30 = 2430 cm³. Essa é a alternativa B, que coincide com o gabarito.
- Por que as outras estão erradas. A (2160 cm³) corresponde a uma divisão não ótima da soma, como 6 e 12, cujo produto 72 é menor que 81. C (2700 cm³) exigiria produto 90 da base, o que é impossível com soma 18, pois a equação x^2 - 18x + 90 = 0 não tem raízes reais. D (4860 cm³) é o dobro do volume máximo, como se a área da base tivesse sido contada duas vezes. E (1620 cm³) equivale a uma base de área 54, obtida de lados como 6 e 9, cuja soma 15 não respeita a condição de 18 cm.
- Conclusão. O volume máximo ocorre com base quadrada de lado 9 cm e altura 30 cm, resultando em 2430 cm³.
💡 Dica: Use a restrição da soma da largura e profundidade para expressar o volume e maximize a função.
Alternativa por alternativa
Escolheu uma divisão arbitrária da soma 18 entre largura e profundidade, como 6 e 12, sem perceber que o produto máximo ocorre com lados iguais. Assim, calculou uma base de área 72 em vez de 81.
Correto: V=30x(18-x), com máximo no vértice em x=9.
Obteve uma base de área 90, possivelmente somando errado os lados (usando 9 e 10, que somam 19) ou confundindo a soma 18 com outro valor. Não percebeu que essa área é impossível com soma 18.
Calculou o dobro da área da base (2 · 81 = 162) ao multiplicar pela altura, provavelmente contando duas vezes uma das dimensões ou tratando a base como se fosse dupla.
Usou lados que não respeitam a soma 18, como 6 e 9 (soma 15), ou multiplicou a soma por outro fator, gerando uma base de área 54 em vez de 81.
Raio-X da questão
maximização de volume
avaliacao
função do 2º grau · derivada e máximo
estudo de funções e otimização
O aluno pode esquecer de usar a restrição para expressar uma variável em função da outra, ou errar o cálculo da derivada para encontrar o máximo.
pensamento_critico
cotidiano
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog