Durante um período de estiagem, uma administradora de condomínios comparou os custos de dois fornecedores de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante um período de estiagem, uma administradora de condomínios comparou os custos de dois fornecedores de água. O gráfico mostra que, para a empresa ÁguaJá, o custo total C_A, em reais, varia linearmente com o volume v, em metros cúbicos: para 0 m³, C_A é aproximadamente 36; para 2 m³, 60; para 4 m³, 84; para 6 m³, 108; para 8 m³, 132; e para 10 m³, 156. A empresa concorrente cobra, pelo mesmo serviço, C_C(v) = 18v + 12. Com base nos dados apresentados, a partir de qual condição de volume a ÁguaJá passa a ser a opção mais econômica?
- A) Para volumes abaixo de 4 m³; em 4 m³, os custos se igualam.
- B) Para volumes acima de 4 m³; em 4 m³, os custos se igualam.
- C) Para volumes acima de 4 m³; em 4 m³, a concorrente ainda é mais barata.
- D) Para qualquer volume positivo; em 0 m³, os custos se igualam.
- E) Para volumes acima de 6 m³; em 6 m³, os custos se igualam.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Encontre a lei da ÁguaJá. Os pontos da figura crescem 24 reais a cada 2 m³, ou seja, 12 reais por m³. Como em 0 m³ o custo é 36, temos C_A = 12v + 36. Os dados da tabela confirmam esse padrão, pois, por exemplo, 12 × 10 + 36 = 156.
- Iguale os dois custos para achar o volume de equilíbrio. Temos 12v + 36 = 18v + 12, logo 24 = 6v e v = 4 m³.
- Verifique o valor do custo nesse ponto. Com v = 4, C_A = 12 × 4 + 36 = 84 e C_C = 18 × 4 + 12 = 84. Os custos são iguais em 4 m³, o que descarta as alternativas que dizem que a concorrente ainda é mais barata nesse ponto.
- Compare o crescimento das duas funções. A concorrente cobra 18 reais por m³ e a ÁguaJá cobra 12 reais por m³. Assim, a diferença entre os custos diminui a cada m³ extra, e a partir de 4 m³ a ÁguaJá fica mais barata. Para volumes menores que 4 m³, a concorrente é a mais econômica; por exemplo, em 0 m³ ela custa 12 reais e a ÁguaJá custa 36.
- Conclusão. A ÁguaJá passa a ser a opção mais econômica para volumes acima de 4 m³, o que corresponde à alternativa B.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A inverte o sentido da comparação. A alternativa C contradiz o cálculo, pois em 4 m³ os custos são iguais. A alternativa D está errada porque em 0 m³ os custos são 36 e 12, não iguais. A alternativa E está errada porque em 6 m³ a ÁguaJá custa 108 e a concorrente 120, portanto não há igualdade.
💡 Dica: Determine a função linear da ÁguaJá e compare-a com a função da concorrente.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte o sentido da comparação: acredita que a ÁguaJá é mais barata para volumes pequenos, sem perceber que sua taxa de 12 reais por m³ é menor e só compensa com volumes maiores.
Por que engana: O aluno pode inverter qual fornecedor é mais econômico após encontrar o ponto de igualdade, ou confundir o ponto de interseção com o intervalo em que os custos diferem.
Pelo gráfico, o custo da ÁguaJá aumenta R$ 12 por metro cúbico e começa em R$ 36, então C_A(v) = 12v + 36. Igualando os custos: 12v + 36 = 18v + 12, o que resulta em v = 4. Para volumes maiores que 4 m³, o custo da ÁguaJá é menor.
O aluno interpreta mal o ponto de encontro das retas e supõe que a concorrente continua mais barata em 4 m³, mesmo tendo calculado os dois valores iguais a 84 reais.
O aluno confunde o custo fixo (intercepto) com o ponto de igualdade: assume que, por começar em 0, os custos se igualam nesse volume, quando em 0 m³ os valores são 36 e 12.
O aluno lê o ponto 6 m³ da tabela como se fosse o cruzamento das retas, sem resolver a equação 12v + 36 = 18v + 12, e não verifica que os custos em 6 m³ são 108 e 120.
Raio-X da questão
Comparação de funções lineares
avaliacao
Função afim e coeficientes · Resolução de equações lineares
Revise a determinação da lei de uma função afim por pontos e a comparação de custos.
O aluno pode inverter qual fornecedor é mais econômico após encontrar o ponto de igualdade, ou confundir o ponto de interseção com o intervalo em que os custos diferem.
economia_financeira
tomada_decisao
cotidiano
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