Para ampliar a produção, uma cooperativa vai cercar um viveiro retangular com 60 m de tela. O gráfico mostra o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para ampliar a produção, uma cooperativa vai cercar um viveiro retangular com 60 m de tela. O gráfico mostra o comprimento do viveiro em função da largura. De acordo com o gráfico, qual é a maior área de cultivo possível sem aumentar a quantidade de tela?
- A) 200 m²
- B) 216 m²
- C) 225 m²
- D) 240 m²
- E) 450 m²
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o que a tela cerca. Os 60 m de tela formam o contorno completo do viveiro retangular, ou seja, o perímetro é 60 m. Para um retângulo de largura x e comprimento y, temos 2x + 2y = 60, o que dá x + y = 30. Essa é a relação que o gráfico traduz: o comprimento é y = 30 - x.
- Escreva a área em função da largura. A área é A = x · y = x · (30 - x) = 30x - x^2.
- Encontre o valor de x que dá a área máxima. A expressão 30x - x^2 é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice está em x = 30 / 2 = 15 m. Nesse ponto, y = 30 - 15 = 15 m. Assim, o viveiro ótimo é um quadrado de 15 m por 15 m.
- Calcule a área máxima. A = 15 · 15 = 225 m². Esse é o valor da alternativa C, que é o gabarito.
- Confira as demais alternativas. Testar pares de lados que somam 30 mostra que qualquer outro retângulo tem área menor: 10 × 20 = 200, 12 × 18 = 216 e 14 × 16 = 224 são todos menores que 225. Os valores 240 e 450 não podem ser obtidos com perímetro 60, pois 240 exigiria lados que somam mais de 30 e 450 exigiria lados como 30 e 15, que somam 45 e não respeitam a tela disponível. Por isso a alternativa C é a única correta.
💡 Dica: Use o gráfico para relacionar comprimento e largura e calcule a área máxima possível.
Alternativa por alternativa
O aluno encontra um par de lados que soma 30 (10 e 20), mas não verifica se essa é a maior área possível. Ele acha que qualquer retângulo com perímetro 60 serve como resposta.
O aluno escolhe lados próximos de 15 (12 e 18), sem perceber que a área máxima exige lados iguais. Ele se aproxima do ótimo, mas para antes de chegar ao quadrado.
No máximo, largura e comprimento ficam iguais: 15 m e 15 m; área 225 m².
O aluno confunde a relação entre os lados e o perímetro, usando lados que somam mais que 30 (por exemplo, 15 e 16 ou 12 e 20), como se a tela de 60 m cercasse apenas metade do contorno ou tivesse de ser somada de outra forma.
O aluno usa o semiperímetro 30 ou a soma x + y = 30 como se fosse um dos lados, e multiplica por 15, obtendo 450. Ele mistura a soma dos lados com a medida de um lado e não aplica corretamente a relação do perímetro.
Raio-X da questão
maximização de área retangular
diagnostico
perímetro de retângulo · função quadrática
Estude propriedades de perímetro e área de retângulos e funções quadráticas.
O aluno pode confundir perímetro com área ou não interpretar corretamente o gráfico para encontrar a área máxima.
pensamento_critico
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Nas margens de um rio, uma cooperativa instalou uma horta retangular. Para cercar o terreno, usarão o rio como um dos…
- Uma praça retangular será cercada com 40 m de gradil. O gráfico mostra a área A(x) em função da largura x. A prefeitura…
- Em uma horta escolar, todos os canteiros têm 18 m de comprimento. O gráfico mostra a largura de cada canteiro. A equipe…
- Uma associação de pescadores planeja construir um viveiro retangular com área de 280 m². Para facilitar a circulação ao…
- Durante a revitalização da praça do bairro, um grupo de moradores decidiu cercar um pequeno jardim retangular com tela…
- Uma propriedade rural planeja instalar uma horta retangular junto a um muro retilíneo. Como o muro forma um dos lados do…
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog