Uma propriedade rural planeja instalar uma horta retangular junto a um muro retilíneo. Como o muro forma um…

Questão

Uma propriedade rural planeja instalar uma horta retangular junto a um muro retilíneo. Como o muro forma um dos lados do retângulo, a tela será usada apenas nos outros três lados. O projeto inicial dispõe de 80 m de tela. Antes da instalação, uma doação permite elevar essa quantidade para 92 m. A equipe quer saber se o aumento da tela produz um aumento proporcional na maior área possível da horta. Seja x a largura, em metros, de cada um dos dois lados perpendiculares ao muro. Determine a expressão da área da horta em função de x para uma quantidade genérica F de tela, identifique as dimensões que maximizam essa área e calcule a área máxima nos projetos com F = 80 m e F = 92 m. Por fim, compare os resultados e explique se o aumento percentual da área máxima é igual ao aumento percentual da tela, justificando com os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Com F metros de tela, o lado paralelo ao muro mede F - 2x, portanto A(x) = x(F - 2x) = -2x^2 + Fx, com 0 < x < F/2. Como essa parábola tem concavidade para baixo, sua área máxima ocorre no vértice, em x = F/4; o lado paralelo ao muro mede F/2 e a área máxima é F^2/8. Para F = 80 m, as dimensões são 20 m por 40 m e a área máxima é 800 m². Para F = 92 m, as dimensões são 23 m por 46 m e a área máxima é 1.058 m². A área máxima aumenta 258 m², ou 32,25%, enquanto a tela aumenta 15%. Portanto, o aumento da área não é proporcional ao aumento da tela: a área máxima varia com o quadrado de F.

Explicação

A área depende de x por uma função quadrática côncava, cujo máximo está no vértice. Substituindo os valores de F na expressão F^2/8, obtêm-se 800 m² e 1.058 m². Como a área máxima é proporcional ao quadrado da tela, o aumento de 15% na tela resulta em aumento de 1,15^2 - 1 = 32,25% na área.

Raio-X da questão

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