Uma praça retangular será cercada com 40 m de gradil. O gráfico mostra a área A(x) em função da largura x. A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma praça retangular será cercada com 40 m de gradil. O gráfico mostra a área A(x) em função da largura x. A prefeitura quer a maior área interna possível. Com base no gráfico, qual é essa área máxima?
- A) 80 m².
- B) 90 m².
- C) 96 m².
- D) 99 m².
- E) 100 m².
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique as relações do problema. Como o gradil tem 40 m e cerca todo o contorno de um retângulo, o perímetro é 40 m. Se a largura é x e o comprimento é y, então 2x + 2y = 40, ou seja, x + y = 20, logo y = 20 - x.
- Escreva a área em função de x. A área é A(x) = x·y = x·(20 - x) = 20x - x^2. Essa é uma função do segundo grau com coeficiente de x^2 negativo, cujo gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.
- Localize o máximo. O valor máximo de uma parábola ocorre no vértice, em x = -b/(2a) = -20/(2·(-1)) = 10. Assim, a praça de maior área tem largura 10 m e comprimento 10 m, ou seja, é um quadrado.
- Calcule a área máxima. A(10) = 10·(20 - 10) = 10·10 = 100 m². No gráfico, essa é a altura do ponto mais alto da curva, que corresponde a x = 10.
- Conclua. A alternativa correta é a E, 100 m². Por que as outras estão erradas: A) 80 m² não é o máximo, pois corresponde a outra largura possível e não ao vértice; B) 90 m² também fica abaixo do máximo; C) 96 m² é obtido com lados 8 m e 12 m, que somam 20 m, mas não é a configuração de área máxima; D) 99 m² é quase o máximo, mas exige lados 9 m e 11 m, que não estão no vértice da parábola.
💡 Dica: Analise o gráfico para identificar o valor máximo da área A(x).
Alternativa por alternativa
Confunde a área com o próprio perímetro, fazendo 2·40 = 80, ou acredita que 80 m² é o máximo por ser o dobro do gradil.
Toma os lados 9 m e 10 m, cuja soma é 19 e não 20, e calcula a área sem respeitar a condição do perímetro de 40 m.
Usa um par de lados válido (8 m e 12 m) mas não identifica o vértice do gráfico; aceita um ponto qualquer da curva como se fosse o máximo.
Lê o gráfico ou escolhe um valor vizinho do vértice (9 m e 11 m), errando por pouco ao buscar o ponto mais alto da curva.
Correta: o vértice ocorre em x=10, com A=100.
Raio-X da questão
maximização de área
avaliacao
função quadrática · interpretação de gráficos
Estude funções quadráticas e interpretação de gráficos para maximizar áreas.
O aluno pode confundir o valor da largura que maximiza a área ou interpretar incorretamente o gráfico.
pensamento_critico
cotidiano
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