Uma associação de pescadores planeja construir um viveiro retangular com área de 280 m². Para facilitar a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma associação de pescadores planeja construir um viveiro retangular com área de 280 m². Para facilitar a circulação ao redor, o projeto prevê que o comprimento seja 6 m maior que a largura. O viveiro deve ter dimensões positivas. Que dimensões devem ser adotadas para que o viveiro tenha a área prevista e respeite a diferença entre comprimento e largura?
- A) 14 m de largura e 20 m de comprimento.
- B) 10 m de largura e 28 m de comprimento.
- C) 16 m de largura e 17,5 m de comprimento.
- D) 20 m de largura e 14 m de comprimento.
- E) 8 m de largura e 35 m de comprimento.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Chame a largura de x. Então o comprimento é x + 6, pois a questão diz que ele é 6 m maior que a largura.
- A área é largura vezes comprimento, então x(x + 6) = 280, ou seja, x^2 + 6x - 280 = 0.
- Aplique a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = 6 e c = -280. O discriminante é 6^2 - 4(1)(-280) = 36 + 1120 = 1156, cuja raiz quadrada é 34.
- x = (-6 ± 34) / 2. As raízes são 14 e -20. Como as dimensões devem ser positivas, descartamos -20 e ficamos com x = 14 m.
- O comprimento é 14 + 6 = 20 m. Verificação: 14 x 20 = 280 m² e 20 - 14 = 6 m, então as duas condições são atendidas.
- A alternativa A traz exatamente 14 m de largura e 20 m de comprimento, estando correta. A alternativa B está errada porque 28 - 10 = 18, e não 6. A alternativa C está errada porque 17,5 - 16 = 1,5, e não 6. A alternativa D está errada porque inverte os papéis: o comprimento deveria ser o maior, e aqui ele é menor. A alternativa E está errada porque 35 - 8 = 27, e não 6.
💡 Dica: Represente a largura por x e o comprimento por x + 6; iguale o produto a 280.
Alternativa por alternativa
Se a largura é x, o comprimento é x + 6. A área leva à equação x(x + 6) = 280, ou x² + 6x - 280 = 0, que tem raízes 14 e -20. Como uma dimensão não pode ser negativa, a largura é 14 m e o comprimento é 20 m.
O aluno encontrou um par de fatores de 280 (10 x 28 = 280) e verificou só a área, sem conferir se o comprimento excede a largura em exatamente 6 m.
Por que engana: Usar a diferença de 6 como uma das dimensões ou inverter comprimento e largura.
O aluno procurou dois números com produto 280 e estavam próximos entre si, ignorando que a diferença entre comprimento e largura precisa ser de 6 m.
O aluno acertou o par de valores 14 e 20, mas atribuiu 20 à largura e 14 ao comprimento, contrariando a condição de que o comprimento é 6 m maior que a largura.
O aluno usou apenas o produto 8 x 35 = 280 e não verificou a diferença de 6 m entre comprimento e largura, que nesse caso seria 27 m.
Raio-X da questão
Equação do 2º grau a partir da área de um retângulo.
fixacao
Multiplicação de expressões algébricas. · Resolução de equações do 1º grau.
Fatoração de trinômios quadráticos.
Usar a diferença de 6 como uma das dimensões ou inverter comprimento e largura.
cotidiano
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