Nas margens de um rio, uma cooperativa instalou uma horta retangular. Para cercar o terreno, usarão o rio como…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Nas margens de um rio, uma cooperativa instalou uma horta retangular. Para cercar o terreno, usarão o rio como um dos lados, não precisando de cerca nesse trecho. Com 120 metros de tela de arame, planejam instalar o cercado nos três lados restantes: dois laterais iguais de comprimento x e um lado oposto ao rio de comprimento (120 - 2x). A área A(x) em metros quadrados, portanto, pode ser modelada pela função polinomial de 2º grau A(x) = x·(120 - 2x). Com base no texto-base, determine a largura x que maximiza a área da horta.
- A) 30 m
- B) 20 m
- C) 40 m
- D) 15 m
- E) 60 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a função. A(x) = x·(120 - 2x) = 120x - 2x^2, que é uma parábola com a = -2 (negativo), então ela tem ponto de máximo, que é o vértice. Passo 2: Calcule a abscissa do vértice pela fórmula x_v = -b/(2a). Aqui b = 120 e a = -2, logo x_v = -120/(2·(-2)) = -120/(-4) = 30. Passo 3: Verifique o resultado. Para x = 30, o lado oposto ao rio mede 120 - 2·30 = 60 m e a área é 30·60 = 1800 m^2. Para qualquer outro valor de x a área é menor, por exemplo x = 20 dá 20·80 = 1600 m^2 e x = 40 dá 40·40 = 1600 m^2. Passo 4: Conclusão. A largura que maximiza a área é x = 30 m, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B) 20 m gera área menor que a máxima; C) 40 m é o valor que divide a tela igualmente entre os três lados, mas não maximiza a área; D) 15 m não é o vértice da parábola; E) 60 m é a raiz de A(x) = 0, ou seja, o valor em que a área se anula, não o máximo.
💡 Dica: Use a fórmula da área e derive para encontrar o valor de x que maximiza a área.
Alternativa por alternativa
O vértice da parábola A(x)= -2x^2+120x ocorre em x= -b/(2a)= -120/(2·-2)=30 m, que maximiza a área.
O aluno divide os 120 m de tela por 6, como se houvesse seis trechos de cerca de mesmo tamanho, sem montar a função da área.
Por que engana: Escolher o valor de x que não maximiza a área, confundindo o cálculo do vértice da parábola.
O aluno divide a tela igualmente pelos três lados (120/3 = 40), supondo que a área máxima ocorre quando todos os lados são iguais, sem considerar que o lado oposto é 120 - 2x.
O aluno aplica a fórmula -b/(4a) em vez de -b/(2a), obtendo -120/(4·(-2)) = 15, ou seja, confunde a fórmula do vértice.
O aluno calcula a raiz de A(x) = 0, que é x = 60, e a toma como o ponto de máximo, quando nesse valor a área é zero e o lado oposto desaparece.
Raio-X da questão
função quadrática, maximização área
avaliacao
função polinomial de segundo grau · derivada de função polinomial
Estude funções quadráticas e cálculo de máximos usando derivadas.
Escolher o valor de x que não maximiza a área, confundindo o cálculo do vértice da parábola.
tomada_decisao
cotidiano
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