Em uma quadra de 30 m por 20 m, será deixada uma borda de largura x, igual em todos os lados, para drenagem. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma quadra de 30 m por 20 m, será deixada uma borda de largura x, igual em todos os lados, para drenagem. O gráfico mostra a área útil central A(x). Com base no gráfico, qual é a maior largura inteira x que mantém área útil de pelo menos 224 m²?
- A) 2 m
- B) 3 m
- C) 5 m
- D) 6 m
- E) 4 m
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A borda tem largura x em todos os lados, então a área útil é um retângulo com (30 - 2x) metros de comprimento e (20 - 2x) metros de largura. Logo, A(x) = (30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^2 - 100x + 600. Passo 2: A condição é A(x) de pelo menos 224 m², ou seja, A(x) maior ou igual a 224. Subtraindo 224 dos dois lados: 4x^2 - 100x + 376 maior ou igual a 0. Dividindo por 4: x^2 - 25x + 94 maior ou igual a 0. Passo 3: As raízes da equação x^2 - 25x + 94 = 0 são x = (25 - raiz de 249)/2, aproximadamente 4,61, e x = (25 + raiz de 249)/2, aproximadamente 20,39. Como a parábola tem concavidade para cima, a expressão é maior ou igual a zero para x menor ou igual a 4,61 (o valor x maior ou igual a 20,39 não serve, pois a borda não pode ultrapassar a quadra). Passo 4: O maior inteiro x menor ou igual a 4,61 é 4. Passo 5: Conferência: para x = 4, a área é (30 - 8)(20 - 8) = 22 × 12 = 264 m², que é maior ou igual a 224. Para x = 5, a área é 20 × 10 = 200 m², menor que 224, então 5 não serve. Portanto, a alternativa correta é a E, 4 m. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (2 m) satisfaz a condição, mas não é a maior largura possível; a alternativa B (3 m) também satisfaz, mas não é a maior; a alternativa C (5 m) deixa a área em 200 m², abaixo de 224; a alternativa D (6 m) dá área de 144 m², também insuficiente.
💡 Dica: Use o gráfico para encontrar o maior valor inteiro de x com área útil ≥ 224 m².
Alternativa por alternativa
O aluno verifica que 2 m mantém a área acima de 224 m² (26 × 16 = 416) e para aí, sem testar valores maiores, confundindo 'pelo menos' com 'qualquer valor que sirva'.
O aluno encontra que 3 m dá área suficiente (24 × 14 = 336), mas não testa x = 4 e assume que o maior valor que funciona é o primeiro que ele verificou.
O aluno calcula a raiz aproximada 4,61 e arredonda para 5 em vez de tomar o maior inteiro menor ou igual a ela, ignorando que a área com x = 5 fica em 200 m², abaixo de 224.
O aluno aplica a borda x em apenas um dos lados de cada dimensão, usando (30 - 2x)(20 - x), o que dá área de 252 m² para x = 6 e leva a concluir erradamente que 6 m é o limite.
Com 4 m, a área útil é 22×12=264 m². Em 5 m, cai para 200 m²; logo 4 m é a maior inteira.
Raio-X da questão
área útil e largura da borda
diagnostico
cálculo de área de retângulo · interpretação de gráficos
estude cálculo de áreas e interpretação de gráficos
confundir a área total com a área útil ou interpretar incorretamente o gráfico.
pensamento_critico
cotidiano
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