Mesas e cadeiras alinham-se sob árvores em um terreno retangular destinado a estudo ao ar livre. A área será…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Mesas e cadeiras alinham-se sob árvores em um terreno retangular destinado a estudo ao ar livre. A área será delimitada por um corrimão de madeira de 120 metros de comprimento, disposto em volta do perímetro. Os organizadores definiram que a largura do espaço será x metros e o comprimento, (60 - x) metros. Assim, a área A(x) é dada pela função A(x)=x(60 - x), em que x varia de 0 a 60. Analise o modelo A(x)=x(60 - x) apresentado no texto e determine para quais valores de x a área será de pelo menos 600 m2.
- A) x pertence ao intervalo [10 , 60]
- B) x pertence ao intervalo [0 , 60]
- C) x pertence ao intervalo [10 , 50]
- D) x pertence ao intervalo [30 - 10 raiz quadrada de 3 , 30 + 10 raiz quadrada de 3]
- E) x pertence ao intervalo [20 , 40]
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A condição do enunciado é que a área seja de pelo menos 600 m2, ou seja, x(60 - x) maior ou igual a 600. Passo 2: Desenvolvendo, 60x - x^2 maior ou igual a 600, o que equivale a -x^2 + 60x - 600 maior ou igual a 0. Multiplicando por -1 e invertendo a desigualdade, obtemos x^2 - 60x + 600 menor ou igual a 0. Passo 3: Encontramos as raízes da equação x^2 - 60x + 600 = 0 pela fórmula de Bhaskara: delta = 3600 - 2400 = 1200, e x = (60 ± raiz de 1200)/2 = 30 ± raiz de 300 = 30 ± 10 raiz de 3. Passo 4: Como a parábola tem concavidade para cima, a expressão é menor ou igual a zero somente entre as raízes. Logo, x pertence ao intervalo [30 - 10 raiz de 3, 30 + 10 raiz de 3], aproximadamente [12,7; 47,3]. Passo 5: Conferência com valores numéricos: para x = 20, a área é 20 x 40 = 800 (atende); para x = 12, a área é 12 x 48 = 576 (não atende), o que confirma o limite inferior. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A inclui x = 60, em que a área é zero; B inclui x = 0, também com área zero; C inclui x = 50, em que a área é 50 x 10 = 500, insuficiente; E é um subintervalo que deixa de fora valores válidos, como x = 15, em que a área é 15 x 45 = 675. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Use a função quadrática para encontrar os valores de x que satisfazem a área mínima.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que basta x ser maior ou igual a 10 para a área atingir 600, sem resolver a inequação. Ele também não percebe que, no extremo x = 60, a área se anula.
O aluno confunde o domínio da função (valores possíveis de x, de 0 a 60) com a condição pedida de área de pelo menos 600 m2.
O aluno aproxima os limites por números inteiros arredondados sem resolver a inequação exatamente, e assim inclui x = 50, cuja área é apenas 500 m2.
Por que engana: O aluno pode confundir os intervalos ou não resolver corretamente a inequação quadrática.
Resolvendo -x^2+60x>=600 obtém-se x^2-60x+600<=0, com raízes 30±10v3, logo x neste intervalo.
O aluno supõe que a área só fica em torno do valor máximo, de forma simétrica e com margem arbitrária, e não calcula as raízes exatas. Assim, deixa de fora valores válidos como x = 15 e x = 45.
Raio-X da questão
função quadrática e desigualdade
avaliacao
função quadrática · resolução de inequações
estude funções quadráticas e resolução de inequações
O aluno pode confundir os intervalos ou não resolver corretamente a inequação quadrática.
pensamento_critico
cotidiano
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