Por que aproveitar um muro já existente para construir um jardim? Dados ficticios: uma prefeitura planeja…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que aproveitar um muro já existente para construir um jardim? Dados ficticios: uma prefeitura planeja cercar três lados de um canteiro retangular utilizando um muro como quarto lado. O comprimento total de cerca disponível é de 60 metros. Se x representa a largura do canteiro (em metros) perpendicular ao muro, a área pode ser modelada por A(x)=x(60-2x). Esse polinômio mostra que existe uma combinação de dimensões em que a área é máxima. Analise o texto-base e determine as dimensões do canteiro que maximizam a área.
- A) 15 m na largura e 30 m no comprimento
- B) 20 m na largura e 20 m no comprimento
- C) 10 m na largura e 40 m no comprimento
- D) 12 m na largura e 36 m no comprimento
- E) 15 m na largura e 15 m no comprimento
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a relação entre os dados. O muro é o quarto lado, então a cerca de 60 m cobre dois lados de largura x e um lado de comprimento, ou seja, comprimento = 60 - 2x. A área é A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2.
- Encontre o valor de x que maximiza A(x). Trata-se de uma parábola com coeficiente de x^2 negativo (-2), logo ela tem ponto de máximo no vértice. O vértice está em x = -b/(2a) = -60/(2 · (-2)) = 15 m.
- Calcule o comprimento correspondente: 60 - 2 · 15 = 30 m. A área máxima é 15 · 30 = 450 m^2. Portanto, a largura é 15 m e o comprimento é 30 m, que é a alternativa A, igual ao gabarito oficial.
- Verifique as demais alternativas. B (20 e 20) respeita a cerca de 60 m, mas dá área 400 m^2, menor que 450. C (10 e 40) também respeita a cerca, mas dá área 400 m^2. D (12 e 36) respeita a cerca, mas dá área 432 m^2, ainda abaixo do máximo. E (15 e 15) não respeita a cerca, pois usaria apenas 45 m de cerca, e o comprimento deveria ser 30 m, não 15 m.
💡 Dica: Use a função área para encontrar o valor de x que maximiza A(x).
Alternativa por alternativa
O vértice da parábola A(x)=60x-2x^2 ocorre em x=60/(4)=15, logo comprimento=60-2·15=30 m.
Supõe que a forma quadrada é sempre a que dá maior área, sem usar a relação entre a largura e o comprimento impostas pela cerca.
Por que engana: Escolher valores que não maximizam a área por não entender a relação da função quadrática com o problema.
Confunde a condição de cerca total com a condição de área máxima: escolhe uma combinação que fecha os 60 m, mas não testa qual delas maximiza A(x), e fica com área 400 m^2.
Testa algumas dimensões por tentativa, sem chegar ao vértice da parábola. Como 12 m está próximo de 15 m, a área é alta, mas o método incompleto não identifica o ponto máximo.
Ignora que a cerca de 60 m deve ser toda usada, pois 15 + 15 + 15 = 45 m não fecha o total, e não usa o comprimento 60 - 2x, que seria 30 m para x = 15.
Raio-X da questão
maximização de área
avaliacao
função quadrática · noções de derivada
estude funções quadráticas e cálculo de máximos
Escolher valores que não maximizam a área por não entender a relação da função quadrática com o problema.
pensamento_critico
cotidiano
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