Enquanto ajustava o arquivo vetorial de um letreiro para um festival, uma designer conferiu as coordenadas (em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Enquanto ajustava o arquivo vetorial de um letreiro para um festival, uma designer conferiu as coordenadas (em cm) de um quadrilátero que servia de referência para posicionar um ícone. No arquivo original, os vértices eram P(1,2), Q(5,2), R(6,4) e S(2,4). Após uma edição automática, o mesmo quadrilátero passou a ter vértices P'(-1,4), Q'(-9,4), R'(-11,8) e S'(-3,8). O software registrou que foram aplicadas duas transformações, nessa ordem: uma homotetia de razão positiva, com centro em um ponto fixo do plano, e uma reflexão em um dos eixos coordenados. A designer precisa identificar a sequência para reproduzir a edição em outro arquivo. Analise as coordenadas dos vértices antes e depois da edição e identifique a sequência de transformações que gera P', Q', R' e S' a partir de P, Q, R e S.
- A) Homotetia de razão 1/2, com centro em (1,0), seguida de reflexão no eixo y.
- B) Homotetia de razão 2, com centro em (1,0), seguida de reflexão no eixo y.
- C) Homotetia de razão 2, com centro em (1,0), seguida de reflexão no eixo x.
- D) Homotetia de razão 2, com centro em (0,0), seguida de reflexão no eixo y.
- E) Homotetia de razão 2, com centro em (1,0), precedida de reflexão no eixo y.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Escreva a fórmula da homotetia de centro C=(a,b) e razão k: X' = C + k(X - C). Para o centro (1,0) e razão 2, cada vértice (x,y) vai para (1 + 2(x-1), 2y), ou seja, (2x-1, 2y). Passo 2: Aplique essa transformação aos vértices originais. P(1,2) vai para (1,4); Q(5,2) vai para (9,4); R(6,4) vai para (11,8); S(2,4) vai para (3,8). Passo 3: Aplique a reflexão no eixo y, que transforma (x,y) em (-x,y). Obtemos (-1,4), (-9,4), (-11,8) e (-3,8), que são exatamente P', Q', R' e S'. Passo 4: Confira as demais alternativas. A não serve, pois a razão 1/2 reduziria o quadrilátero e os vértices finais estão mais afastados da origem. C não serve, pois a reflexão no eixo x deixaria as ordenadas negativas, e as ordenadas finais são positivas (4 e 8). D não serve, pois com centro na origem a abscissa de P' seria -2 e não -1. E não serve, pois ao refletir antes a homotetia de centro (1,0) levaria P para (-3,4), e não para (-1,4). Passo 5: Conclusão: a sequência correta é a homotetia de razão 2 com centro em (1,0), seguida de reflexão no eixo y. O gabarito oficial B está correto.
💡 Dica: Analise as coordenadas e aplique as transformações geométricas na ordem dada.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente confundiu a razão 2 com 1/2, achando que a figura diminui de tamanho. Os vértices finais estão mais distantes da origem do que os originais, o que contradiz essa escolha.
Por que engana: Confundir a ordem das transformações ou calcular incorretamente a razão da homotetia.
As ordenadas dobram (y->2y) e, após homotetia em (1,0), x vira 2x-1; refletindo em y, x->-(2x-1), gerando os pontos finais.
O aluno escolheu a reflexão no eixo x, sem observar que as ordenadas finais são positivas. Ao refletir no eixo x, as ordenadas ficariam negativas, o que não ocorre em P', Q', R' e S'.
O aluno usou o centro da homotetia na origem, supondo que a ampliação sempre parte de (0,0). Com esse centro, a abscissa de P' seria -2 e não -1, o que mostra que o centro (1,0) é necessário.
O aluno inverteu a ordem das transformações, aplicando a reflexão antes da homotetia. O enunciado diz que a ordem é homotetia seguida de reflexão, e a ordem altera o resultado final.
Raio-X da questão
transformações geométricas planas
avaliacao
transformações geométricas básicas · homotetia e reflexão
Estude homotetia, reflexão e composição de transformações.
Confundir a ordem das transformações ou calcular incorretamente a razão da homotetia.
pensamento_critico
cotidiano
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