— Dá para prever quanto arame e quanto couro vou usar? — perguntou um artesão que fabrica pequenas bandejas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Dá para prever quanto arame e quanto couro vou usar? — perguntou um artesão que fabrica pequenas bandejas decorativas em forma de pentágono regular. Para decidir o tamanho do produto, ele mantém o formato (mesmo número de lados e todos iguais) e apenas altera o comprimento do lado s, em centímetros. Um aplicativo de desenho retorna, para cada valor de s, o perímetro P (quantidade de arame para a borda) e a área A (quantidade de couro para o fundo), conforme a tabela: s = 2: P = 10; A = 6,9 s = 3: P = 15; A = 15,5 s = 4: P = 20; A = 27,5 Com esses registros, ele pretende esboçar os gráficos de P(s) e A(s) para escolher o tamanho mais adequado. A partir dos valores apresentados, identifique a classificação das funções P(s) e A(s) quando representadas em função do comprimento do lado s.
- A) P(s) é linear e A(s) é quadrática.
- B) P(s) é quadrática e A(s) é linear.
- C) P(s) é exponencial e A(s) é exponencial.
- D) P(s) é linear e A(s) é linear.
- E) P(s) é quadrática e A(s) é quadrática.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O perímetro de um pentágono regular é a soma de 5 lados iguais, logo P = 5s. Essa é uma função linear (do 1º grau), cujo gráfico é uma reta que passa pela origem. Conferindo com a tabela: s = 2 dá 10, s = 3 dá 15 e s = 4 dá 20, sempre 5 vezes s. Passo 2: A área de um pentágono regular é dada por A = (5/4) x s^2 x cotg(36°), o que equivale aproximadamente a A = 1,72 x s^2. Como o termo dominante é s^2, a área é uma função quadrática. Verificação: para s = 2, 1,72 x 4 = 6,88, que arredondado dá 6,9; para s = 3, 1,72 x 9 = 15,48, que arredondado dá 15,5; para s = 4, 1,72 x 16 = 27,52, que arredondado dá 27,5. Os valores da tabela confirmam o modelo. Passo 3: Na tabela, a área não cresce de forma constante: de s = 2 para s = 3 ela aumenta 8,6 e de s = 3 para s = 4 aumenta 12, o que indica crescimento quadrático e não linear. Passo 4: Portanto P(s) é linear e A(s) é quadrática, o que corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: A alternativa B está errada porque inverte os tipos de função. A alternativa C está errada porque nenhuma das duas cresce de forma exponencial. A alternativa D está errada porque a área não cresce a uma taxa constante. A alternativa E está errada porque o perímetro é proporcional a s, e não a s^2.
💡 Dica: Observe como o perímetro varia linearmente e a área cresce mais rápido, indicando função quadrática.
Alternativa por alternativa
O perímetro cresce com razão constante (proporcional a s), enquanto a área cresce aproximadamente com s^2, indicando comportamento quadrático.
O aluno inverte as classificações, supondo que o perímetro cresce com o quadrado do lado e que a área cresce proporcionalmente ao lado. Não percebe que o perímetro é soma de lados iguais, enquanto a área depende de duas dimensões.
Por que engana: Confundir o crescimento linear do perímetro com o crescimento da área, levando a classificar ambas as funções como lineares.
O aluno confunde crescimento polinomial com crescimento exponencial, achando que qualquer função que cresce de forma acelerada é exponencial. Na tabela, os valores não se multiplicam por um fator fixo a cada aumento de s.
O aluno observa que o perímetro cresce de forma regular e supõe que a área também cresce a taxa constante, sem comparar as diferenças entre os valores de A na tabela (8,6 e depois 12).
O aluno acredita que, por a área envolver duas dimensões, o perímetro também deve ser quadrático. Não percebe que o perímetro é obtido somando lados e, portanto, é proporcional a s.
Raio-X da questão
função linear e função quadrática
diagnostico
função linear · função quadrática
Estude as características de funções lineares e quadráticas e suas representações gráficas.
Confundir o crescimento linear do perímetro com o crescimento da área, levando a classificar ambas as funções como lineares.
pensamento_critico
cotidiano
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