Um ciclista sobe uma ladeira em linha reta. O percurso forma um triângulo retângulo com o solo. Ao medir a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um ciclista sobe uma ladeira em linha reta. O percurso forma um triângulo retângulo com o solo. Ao medir a sombra do trecho mais íngreme sobre a hipotenusa, obtém-se um segmento que permite aplicar uma relação métrica conhecida. — Qual conteúdo matemático está sendo usado quando se relaciona o quadrado de um cateto com a hipotenusa e a projeção desse cateto?
- A) A relação trigonométrica que diz que o seno de um ângulo é igual à divisão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
- B) A semelhança de triângulos, que garante que qualquer lado do triângulo é proporcional aos demais em qualquer figura plana.
- C) A relação métrica que afirma que a altura ao quadrado é igual ao produto dos dois segmentos da hipotenusa.
- D) A relação métrica entre cateto, hipotenusa e projeção do cateto sobre a hipotenusa.
- E) A relação de Pitágoras, que afirma que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A questão pergunta qual relação envolve o quadrado de um cateto, a hipotenusa e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa. Resolvi antes de olhar o gabarito. Passo 2: Em um triângulo retângulo, existem relações métricas que ligam os lados e as projeções. Uma delas afirma que o quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção daquele cateto sobre a hipotenusa. Em símbolos: b^2 = a·m e c^2 = a·n, onde a é a hipotenusa, b e c são os catetos e m e n são as projeções. Passo 3: Essa é uma relação métrica, ou seja, relaciona comprimentos dos lados do triângulo, sem usar ângulos. Por isso a alternativa D, que fala em relação métrica entre cateto, hipotenusa e projeção do cateto, descreve corretamente o conteúdo. Passo 4: Por que as outras estão erradas: A) é uma relação trigonométrica (seno = cateto oposto / hipotenusa), que não envolve projeções. B) a semelhança de triângulos é a base para deduzir essas relações, mas a afirmação de que qualquer lado é proporcional aos demais em qualquer figura plana é falsa. C) descreve a altura relativa à hipotenusa (h^2 = m·n), que relaciona a altura, não o cateto. E) é o teorema de Pitágoras (b^2 + c^2 = a^2), que soma os quadrados dos catetos e não envolve projeções. Passo 5: Conclusão: a relação pedida é a métrica do cateto, e o gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Procure a relação que envolve cateto, hipotenusa e projeção.
Alternativa por alternativa
Confunde relação métrica com relação trigonométrica, supondo que qualquer razão entre lados de um triângulo retângulo seja seno, cosseno ou tangente.
Acredita que a semelhança de triângulos, por si só, dá proporcionalidade entre todos os lados de qualquer figura plana, generalizando indevidamente um princípio que vale apenas para triângulos semelhantes.
Troca o cateto pela altura relativa à hipotenusa e confunde h^2 = m·n com b^2 = a·m, lembrando a relação métrica errada.
Identifica corretamente a relação métrica do triângulo retângulo que afirma que o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
Identifica a relação pedida com o teorema de Pitágoras, sem perceber que a soma dos quadrados dos catetos não envolve a projeção do cateto sobre a hipotenusa.
Por que engana: Confundir relações métricas com o teorema de Pitágoras.
Raio-X da questão
Relação métrica do cateto.
Reconhecer relações
Triângulo retângulo. · Hipotenusa e catetos.
Teorema de Pitágoras e projeções na hipotenusa.
Confundir relações métricas com o teorema de Pitágoras.
Persistência.
Geometria plana em s
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