Em um projeto de iluminação, uma haste, o chão e o cabo formam um triângulo retângulo. A haste vertical mede 9…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de iluminação, uma haste, o chão e o cabo formam um triângulo retângulo. A haste vertical mede 9 m e o cabo que liga o topo ao chão mede 15 m. — Qual é a distância do pé da haste até o ponto de fixação do cabo no chão?
- A) 18 m, pois 15 mais 9 dá 24, e metade desse valor é 12, que indica o lado restante.
- B) 9 m, pois a haste vertical já mede essa distância e o cabo não altera o valor no chão.
- C) 6 m, pois 15 menos 9 dá 6, e essa é a distância procurada.
- D) 14 m, pois o cabo de 15 m sempre deixa a base um metro menor que sua medida total.
- E) 12 m, pois 15² menos 9² resulta em 144, e a raiz quadrada de 144 é 12.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os elementos do triângulo retângulo. A haste vertical (9 m) e a distância procurada no chão são os catetos, e o cabo de 15 m, que liga o topo ao chão, é a hipotenusa, pois é o lado oposto ao ângulo reto.
- Aplique o Teorema de Pitágoras: hipotenusa^2 = cateto^2 + cateto^2. Chamando de x a distância procurada, temos 15^2 = 9^2 + x^2.
- Calcule as potências: 225 = 81 + x^2.
- Isole x^2 subtraindo 81 dos dois lados: x^2 = 225 - 81 = 144.
- Extraia a raiz quadrada: x = raiz de 144 = 12 m. Como distância é medida positiva, descartamos a raiz negativa.
- Verificação: 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2, o que confirma o resultado.
- Conclusão: a alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque somar cateto e hipotenusa não tem relação com o triângulo retângulo. A alternativa B está errada porque a haste e a distância no chão são catetos diferentes, e o cabo influencia essa distância. A alternativa C está errada porque subtrair medidas lineares não corresponde a nenhuma relação do triângulo retângulo. A alternativa D está errada porque não existe regra de que a base seja sempre um metro menor que o cabo.
💡 Dica: Eleve os valores ao quadrado e subtraia o cateto conhecido da hipotenusa.
Alternativa por alternativa
O aluno soma o cateto com a hipotenusa (15 + 9 = 24) e divide por dois, como se isso gerasse o outro lado. Além disso, o próprio cálculo dá 12, mas a alternativa afirma 18, o que mostra descuido na conclusão.
O aluno acredita que a distância no chão deve ser igual à altura da haste, usando a intuição de que o cabo não muda a posição no chão. Ele ignora que haste e distância horizontal são catetos perpendiculares com medidas independentes.
O aluno subtrai as medidas dadas (15 - 9 = 6) como se a diferença entre hipotenusa e cateto fosse o outro lado. Ele não reconhece que a relação entre os lados é quadrática, e não linear, como manda o Teorema de Pitágoras.
Por que engana: Subtrair os valores diretamente em vez de usar os quadrados.
O aluno inventa uma regra de que o cabo sempre deixa a base um metro menor que sua medida total, sem qualquer relação geométrica. Ele substitui o cálculo pelo chute de um padrão aparente.
Resposta correta. Usa a relação entre hipotenusa e catetos no triângulo retângulo: 15² = 9² + x², logo x² = 225 - 81 = 144 e x = 12.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras.
Aplicar Pitágoras.
Quadrado de números naturais. · Identificação de triângulo retângulo.
Relação entre hipotenusa e catetos.
Subtrair os valores diretamente em vez de usar os quadrados.
Uso de energia e iluminação.
Persistência.
Situação prática de
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