— Engenheira, como definiremos o ponto ideal para o laboratório móvel que atenderá nossos sensores de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Engenheira, como definiremos o ponto ideal para o laboratório móvel que atenderá nossos sensores de qualidade de água? questiona o coordenador de um projeto de monitoramento fluvial. A figura ao lado apresenta o plano cartesiano com as coordenadas dos quatro sensores instalados: A(0,-5), B(-1,-1), C(1,4) e D(-1,3). Cada unidade no gráfico corresponde a 1 km. O laboratório deve ser posicionado no ponto médio entre A e C e sua distância até o sensor B será verificada para garantir acessibilidade. A partir do texto e da imagem, analise as coordenadas do ponto médio entre A e C, identifique em qual quadrante ele está e calcule sua distância até o ponto B.
- A) (-1; 1), quadrante 2 e distancia 2 km
- B) (0,5; -0,5), quadrante 4 e distancia raiz quadrada de 2,5 km
- C) (0,5; -0,5), quadrante 4 e distancia raiz quadrada de 14,5 km
- D) (-0,5; 0,5), quadrante 2 e distancia raiz quadrada de 2,5 km
- E) (1; 4), quadrante 1 e distancia raiz quadrada de 29 km
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique os pontos. A(0,-5) e C(1,4) são os extremos do segmento, e o laboratório deve ficar no ponto médio entre eles. Passo 2: Calcule o ponto médio: x = (0 + 1)/2 = 0,5 e y = (-5 + 4)/2 = -0,5. Logo, o ponto médio é (0,5; -0,5). Passo 3: Localize o quadrante. Como x é positivo e y é negativo, o ponto está no quadrante 4. Passo 4: Calcule a distância até B(-1,-1) pela fórmula d = raiz de ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Temos dx = 0,5 - (-1) = 1,5 e dy = -0,5 - (-1) = 0,5. Então d = raiz de (2,25 + 0,25) = raiz de 2,5 km. Passo 5: Conclua. A alternativa B traz ponto médio, quadrante e distância corretos. Por que as outras estão erradas: A troca o ponto médio por (-1;1), o que não corresponde à média das coordenadas de A e C; C acerta o ponto e o quadrante, mas erra o cálculo da distância, que não resulta em raiz de 14,5; D inverte os sinais do ponto médio, o que altera o quadrante para o 2; E confunde o ponto médio com o próprio sensor C, o que não atende ao enunciado.
💡 Dica: Calcule o ponto médio e depois a distância usando a fórmula da distância entre pontos.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula a média de forma incorreta, com erros de sinal e de soma, e chega a (-1; 1), que não é o ponto entre A e C. Depois associa esse ponto ao quadrante 2 e a uma distância inteira de 2 km.
O ponto médio de A e C e (0,5; -0,5), que pertence ao quadrante 4 (x>0, y<0). Distancia ate B = raiz quadrada de [(0,5+1)^2+(-0,5+1)^2] = raiz quadrada de 2,5 km.
O aluno encontra corretamente o ponto médio e o quadrante 4, mas erra a distância ao subtrair uma coordenada de forma errada, obtendo uma diferença vertical de 3,5 em vez de 0,5. Assim chega a raiz de 14,5.
O aluno inverte os sinais das coordenadas do ponto médio, obtendo (-0,5; 0,5), e por isso indica o quadrante 2. A distância coincidentemente sai como raiz de 2,5, o que mascara o erro na média.
Por que engana: Confundir as coordenadas do ponto médio ou aplicar incorretamente a fórmula da distância entre pontos.
O aluno confunde o ponto médio entre A e C com o próprio sensor C, (1; 4). Com isso calcula a distância a partir de C até B, que é raiz de 29 km.
Raio-X da questão
ponto médio e distância entre pontos
avaliacao
coordenadas no plano cartesiano · fórmula da distância entre pontos
Estude como calcular ponto médio e distância no plano cartesiano.
Confundir as coordenadas do ponto médio ou aplicar incorretamente a fórmula da distância entre pontos.
tomada_decisao
cotidiano
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