— Arquiteto, para instalar as luminárias, precisamos saber quão larga fica a galeria quando a altura do teto…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Arquiteto, para instalar as luminárias, precisamos saber quão larga fica a galeria quando a altura do teto atingir 5 unidades acima do piso, perguntou o engenheiro durante uma reunião de planejamento. O perfil desse trecho subterrâneo foi modelado pela curva parabológica exibida na figura, que intercepta o piso nos pontos (-2,0) e (2,0) e atinge o ponto mais baixo em V(0,-4). Nessa conformação, a largura da galeria varia conforme a altura. Analise o texto e a imagem e determine a distância horizontal entre as duas paredes quando a altura vertical medida a partir do piso for 5 unidades. Considere o texto e a imagem e calcule a distância horizontal entre as paredes na altura de 5 unidades acima do piso.
- A) 2 vezes a raiz quadrada de 5
- B) 6 unidades
- C) 2 vezes a raiz quadrada de 3
- D) 2 unidades
- E) 4 unidades
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a parábola. Ela corta o piso (eixo horizontal, y = 0) em (-2,0) e (2,0), logo é simétrica em torno do eixo y e tem raízes -2 e 2. Como o vértice está em V(0,-4), a forma fatorada y = a(x - 2)(x + 2) = a(x^2 - 4) serve. Passo 2: Determine o coeficiente a. No vértice x = 0, então y = a(0 - 4) = -4a. Como y = -4, temos -4a = -4, logo a = 1. A equação da curva é y = x^2 - 4. Passo 3: Relacione a altura com a curva. A altura é medida a partir do piso, que é o eixo y = 0, então a altura 5 corresponde a y = 5. Passo 4: Resolva a equação x^2 - 4 = 5. Somando 4 aos dois lados, x^2 = 9, e portanto x = 3 ou x = -3. Passo 5: Calcule a distância horizontal entre as duas paredes, que são os pontos (-3,5) e (3,5). A distância é 3 - (-3) = 6 unidades. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A: 2 vezes a raiz de 5 surge se você iguala x^2 diretamente a 5, esquecendo o deslocamento de 4 unidades do vértice. B: 6 unidades é a resposta correta, obtida com a equação completa. C: 2 vezes a raiz de 3 surge se você calcula x^2 = 5 - 2, misturando o deslocamento com um valor de raiz. D: 2 unidades corresponde a confundir a largura com a coordenada x de um dos pontos de interseção com o piso. E: 4 unidades é a largura no piso, distância entre (-2,0) e (2,0), que vale para a altura zero e não para a altura 5.
💡 Dica: Use a equação da parábola para encontrar a largura na altura dada.
Alternativa por alternativa
O aluno iguala x^2 diretamente à altura 5, sem considerar que a parábola está deslocada 4 unidades para baixo, e então obtém x = raiz de 5.
Por que engana: Confundir a altura com a coordenada y da parábola ou calcular incorretamente a distância horizontal entre os pontos.
Ao definir y=5, tem-se x^2-4=5 ? x^2=9 ? x=±3, logo a largura é 3-(-3)=6 unidades.
O aluno subtrai 2 da altura em vez de 4 ao resolver x^2 - 4 = 5, chegando a x^2 = 3 e a distância 2 vezes a raiz de 3.
O aluno toma a coordenada x de um dos pontos de interseção com o piso, como 2 em (2,0), como se fosse a largura total da galeria na altura 5.
O aluno usa a largura medida no piso, entre (-2,0) e (2,0), e ignora que a altura pedida é 5 e não 0.
Raio-X da questão
parábola e distância horizontal
avaliacao
equação da parábola · distância entre pontos no plano
Estude propriedades da parábola e cálculo de distâncias horizontais.
Confundir a altura com a coordenada y da parábola ou calcular incorretamente a distância horizontal entre os pontos.
tomada_decisao
cotidiano
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