Dados de um estudo de ajuste de curva indicam que determinada experiência resultou em uma função quadrática…

Questão

Dados de um estudo de ajuste de curva indicam que determinada experiência resultou em uma função quadrática cuja representação gráfica está mostrada na figura. Observam-se raízes em x = -1 e x = 0 e o vértice em V(-0.5, -0.25), com concavidade voltada para cima. Identificar corretamente os coeficientes dessa função é fundamental para prever comportamentos em aplicações de modelagem, permitindo expandir a expressão algébrica f(x) = ax^2 + bx + c, que descreve a relação entre variáveis em análise. Esse procedimento de identificação algébrica auxilia na interpretação de diferentes cenários que seguem padrões quadráticos. Determine os valores de a, b e c da expressão f(x) = ax^2 + bx + c da função descrita no texto e apresentada na figura.

1. A) a = 1, b = 1 e c = -1
2. B) a = 1, b = 0 e c = 0
3. C) a = 2, b = 2 e c = 0
4. D) a = 1, b = -1 e c = 0
5. E) a = 1, b = 1 e c = 0

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Observe que as raízes da função são x = -1 e x = 0. Quando uma função quadrática tem raízes r1 e r2, ela pode ser escrita na forma fatorada f(x) = a(x - r1)(x - r2). Substituindo, f(x) = a(x + 1)(x - 0) = a(x^2 + x).
2. Desenvolvendo a expressão, vemos que f(x) = ax^2 + ax, ou seja, c = 0 (o gráfico passa pela origem, pois x = 0 é raiz) e b = a.
3. Para descobrir a, use o vértice V(-0.5, -0.25). Substituindo x = -0.5 na forma fatorada: f(-0.5) = a(-0.5 + 1)(-0.5) = a(0.5)(-0.5) = -0.25a. Como o vértice tem ordenada -0.25, temos -0.25a = -0.25, logo a = 1.
4. Com a = 1, temos b = 1 e c = 0, ou seja, f(x) = x^2 + x. Confira: a abscissa do vértice é -b/(2a) = -1/2 = -0.5, que coincide com o vértice informado. Como a > 0, a concavidade está voltada para cima, como indicado no texto. Portanto, a alternativa correta é a E.
5. Por que as demais estão erradas. A: o termo independente c = -1 faria a função não se anular em x = 0, contrariando a raiz dada. B: f(x) = x^2 não tem raiz em x = -1, pois só se anula na origem. C: com a = 2 e b = 2, o vértice teria ordenada -0.5, e não -0.25. D: o sinal de b está invertido; com b = -1 a soma das raízes seria 1 e o vértice estaria em x = 0.5, não em x = -0.5.

💡 Dica: Use as raízes e o vértice para montar o sistema e encontrar a, b e c.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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