Em uma atividade de modelagem, estudantes analisaram uma grandeza y que depende de uma medida x. Os resultados…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de modelagem, estudantes analisaram uma grandeza y que depende de uma medida x. Os resultados experimentais foram organizados nos seguintes pares: (0, 0), (1, 3), (2, 12) e (3, 27). Para verificar um modelo quadrático simples, eles consideraram a expressão y = ax², em que a é uma constante. Com base nos dados do experimento, verifique se todos os pares pertencem a uma função da forma y = ax² e determine o valor de a.
- A) Sim. a = 6, portanto y = 6x².
- B) Sim. a = 9, portanto y = 9x².
- C) Sim. a = 3, portanto y = 3x².
- D) Sim. a = 12, portanto y = 12x².
- E) Não. Os valores de y não mantêm a mesma razão com x².
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Uma função da forma y = ax² exige que y/x² seja constante para todos os pares com x diferente de zero. Passo 2: Para (0, 0), a equação fica 0 = a·0, que vale para qualquer a, então esse par não restringe o valor de a. Passo 3: Para (1, 3), temos 3 = a·1², logo a = 3. Passo 4: Para (2, 12), temos 12 = a·2², ou seja, 12 = 4a, logo a = 3. Passo 5: Para (3, 27), temos 27 = a·3², ou seja, 27 = 9a, logo a = 3. Passo 6: Como os três pares com x diferente de zero dão o mesmo a = 3, todos os pares pertencem à função y = 3x², e a alternativa correta é a C, em acordo com o gabarito oficial. Passo 7: A alternativa A está errada, pois y/x² não é 6 em (1, 3) nem em (3, 27); o valor 6 vem de dividir 12 por 2, que é y/x. Passo 8: A alternativa B está errada, pois 9 corresponde a 27 dividido por 3, uma divisão por x e não por x². Passo 9: A alternativa D está errada, pois 12 é apenas o valor de y no par (2, 12), e esse valor não é o coeficiente a. Passo 10: A alternativa E está errada, pois y/x² vale 3 em todos os pares com x diferente de zero, então a razão é constante.
💡 Dica: Substitua os pares na equação para encontrar a.
Alternativa por alternativa
O aluno dividiu y por x em vez de por x², obtendo 12/2 = 6 no par (2, 12) e concluindo que a = 6, sem verificar os outros pares.
O aluno calculou 27/3 = 9 no último par, dividindo y por x e não por x², e tomou esse resultado como a constante.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os valores de x e y, escolhendo um valor de a que não corresponde aos pares apresentados na tabela.
Para x diferente de zero, calcula-se a razão y/x². Nos pares (1, 3), (2, 12) e (3, 27), obtém-se, respectivamente, 3/1² = 3, 12/2² = 3 e 27/3² = 3. Para x = 0, a expressão também fornece y = 3 · 0² = 0. Portanto, todos os pares pertencem à função y = 3x².
O aluno tomou o valor de y do par (2, 12) como se fosse o coeficiente a, sem dividi-lo por x² = 4 para obter a constante.
O aluno testou apenas a razão y/x, que varia (3, 6, 9), e concluiu que não há proporcionalidade com x², sem verificar a razão y/x².
Raio-X da questão
função quadrática
avaliacao
função quadrática · análise de tabelas
Revisar a forma de funções quadráticas e como determinar coeficientes.
O aluno pode confundir a relação entre os valores de x e y, escolhendo um valor de a que não corresponde aos pares apresentados na tabela.
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pensamento_critico
cientifico
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