Considere a função polinomial f : R ? R definida por f(x) = ax² + bx + c, em que a, b, c ? R e a ? 0. No plano…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a função polinomial f : R ? R definida por f(x) = ax² + bx + c, em que a, b, c ? R e a ? 0. No plano cartesiano xy, a única interseção da reta y = 2 com o gráfico de f é o ponto (2; 2) e a interseção da reta x = 0 com o gráfico de f é o ponto (0; -6). O valor de a + b + c é [FUVEST 2019 - Questão 48] FUVEST - 2019
- A) -2
- B) 0
- C) 2
- D) 4
- E) 6
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- O ponto (0; -6) pertence ao gráfico de f, então f(0) = c = -6. Passo 2: A reta y = 2 intercepta o gráfico em um único ponto, (2; 2). Isso só acontece se a reta for tangente à parábola, ou seja, se 2 é raiz dupla da equação f(x) = 2. Passo 3: Logo f(x) - 2 = a(x - 2)^2, o que dá f(x) = a(x^2 - 4x + 4) + 2 = ax^2 - 4ax + 4a + 2. Passo 4: Comparando os termos, b = -4a e c = 4a + 2. Como c = -6, temos 4a + 2 = -6, então 4a = -8 e a = -2. Passo 5: Com a = -2, obtemos b = -4(-2) = 8 e c = -6. Passo 6: Portanto a + b + c = -2 + 8 - 6 = 0. Conferência: f(x) = -2x^2 + 8x - 6 tem vértice em x = 2, com f(2) = -8 + 16 - 6 = 2, e f(0) = -6, o que confirma os dados do enunciado. Passo 7: O gabarito oficial B está correto. Por que as outras estão erradas: A (-2) é apenas o valor de a, não a soma pedida; C (2) não corresponde à soma, pois a soma calculada é 0; D (4) não resulta das relações corretas entre a, b e c; E (6) também não é a soma correta dos coeficientes.
💡 Dica: Use as condições dadas para montar um sistema de equações e encontre a + b + c.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou corretamente a = -2, mas respondeu esse coeficiente em vez de calcular a + b + c. Ele não completou a etapa final do problema.
Por que engana: O aluno pode confundir a interseção da reta com o gráfico da função, não considerando que a única interseção implica em uma raiz dupla.
CORRETA. A soma a + b + c = 0 é consistente com as interseções dadas.
O aluno provavelmente usou apenas a condição f(2) = 2 e ignorou que a interseção é única, o que exige raiz dupla em x = 2. Com isso, os coeficientes ficam incorretos e a soma não chega a 0.
O aluno errou no procedimento ao resolver 4a + 2 = -6 ou ao escrever b = -4a, por erro de sinal ou de passagem de termos. Os coeficientes obtidos ficam incoerentes com os pontos dados.
O aluno provavelmente tratou c de forma errada, por exemplo tomando c como o valor 2 de f(2) ou perdendo o sinal de -6. Com isso a soma dos coeficientes sai positiva e diferente do valor correto.
Raio-X da questão
função polinomial, interseção, sistema de equações
avaliacao
sistemas de equações · funções quadráticas
Revisar propriedades de funções quadráticas e resolução de sistemas de equações.
O aluno pode confundir a interseção da reta com o gráfico da função, não considerando que a única interseção implica em uma raiz dupla.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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