Seja f(x) = a + b2x+c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]-1,8[ e o gráfico de f…

Questão

Seja f(x) = a + b2x+c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]-1,8[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1,0) e (0,-3/4). Então, o produto abc vale [FUVEST 2011 - Questão 29] FUVEST - 2011

1. A) 4
2. B) 2
3. C) 0
4. D) -2
5. E) -4

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. O enunciado traz duas expressões truncadas: a lei de f aparece como b2x+c e a imagem como ]-1,8[. A leitura mais coerente é f(x) = a + b^(2x+c), e a imagem é a semirreta ]-1, +infinito[, já que uma semirreta não é um intervalo limitado como ]-1,8[. Passo 2: Como b^(2x+c) assume todos os valores positivos, a imagem de f é ]a, +infinito[ e, portanto, a = -1. Passo 3: O ponto (1,0) dá f(1) = 0, ou seja, -1 + b^(2+c) = 0, logo b^(2+c) = 1. Com b positivo e diferente de 1, isso exige 2+c = 0, então c = -2. Passo 4: O ponto (0,-3/4) dá f(0) = -1 + b^c = -3/4, logo b^c = 1/4. Com c = -2, temos b^(-2) = 1/4, então b^2 = 4 e b = 2. Verificação: f(x) = -1 + 2^(2x-2) satisfaz f(1) = -1 + 2^0 = 0 e f(0) = -1 + 2^(-2) = -3/4. Passo 5: O produto é abc = (-1)(2)(-2) = 4, que corresponde à alternativa A e coincide com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as demais estão erradas: B) 2 não é o produto dos valores encontrados; C) 0 exigiria algum dos parâmetros nulo, o que contraria os cálculos acima; D) -2 surgiria de um erro de sinal em c ou em a; E) -4 teria o módulo correto, mas com sinal trocado, pois a e c são negativos.

💡 Dica: Use as informações dos pontos de interseção para encontrar a, b e c e depois calcule o produto abc.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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