— Tenho 100 metros de cerca e quero dividir meu terreno em dois canis retangulares iguais, explicou um criador…

Questão

— Tenho 100 metros de cerca e quero dividir meu terreno em dois canis retangulares iguais, explicou um criador de cães. Ele planeja usar cercas para contornar os dois canis e uma divisória interna que separa os espaços. Se cada canil tiver largura x metros (paralela à divisória) e comprimento y metros, o criador sabe que a cerca total usada será 3x + 2y = 100 metros e que a área total dos dois canis é A = 2xy. Deseja determinar a largura x que maximize essa área. Analise o texto-base e identifique o valor de x, em metros, que maximiza a área total dos canis.

1. A) 100/3
2. B) 50/3
3. C) 25
4. D) 20
5. E) 10

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Isole y na restrição de cerca. De 3x + 2y = 100, temos 2y = 100 - 3x, logo y = (100 - 3x)/2. Passo 2: Substitua y na área A = 2xy. Como 2y = 100 - 3x, então A = x(100 - 3x) = 100x - 3x^2. Passo 3: A função é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 igual a -3), então o máximo ocorre no vértice: x = -b/(2a) = -100/(2 · (-3)) = 100/6 = 50/3, aproximadamente 16,67 metros. Passo 4: Confira pela derivada: dA/dx = 100 - 6x = 0, o que dá x = 50/3. Passo 5: Verifique se y é positivo: y = (100 - 50)/2 = 25 metros, valor válido. A área máxima é 2 · (50/3) · 25 = 2500/3, aproximadamente 833,3 m². Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (100/3) é o vértice calculado sem o fator 2 do denominador, ou seja, -b/a em vez de -b/(2a). C (25) é o valor de y, não de x, então o aluno confundiu largura com comprimento. D (20) é o caso em que x = y (quadrado, 3x + 2x = 100), mas quadrado não é o ponto de máxima área quando a divisória custa cerca em comprimento x. E (10) não resulta de nenhum passo válido do problema e indica um chute ou leitura errada dos coeficientes. O gabarito B está correto.

💡 Dica: Use a equação da cerca para expressar y em função de x e maximize a área A=2xy.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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