Dados de um estudo urbano indicam que artesãos de mosaicos projetam ladrilhos no formato de polígonos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados de um estudo urbano indicam que artesãos de mosaicos projetam ladrilhos no formato de polígonos regulares para revestir praças. Para um ladrilho com n lados de comprimento s, o perímetro P(s)=n·s e a área A(s)=n·s^2\/(4\tan(pi\/n)). Observou-se, em particular para n=8, que, ao dobrar o valor de s, o perímetro também dobra, mas a área se quadruplica. Os gráficos de P(s) e A(s) apresentados no mesmo sistema de coordenadas exibem curvas com comportamentos distintos: P(s) cresce de maneira constante, enquanto A(s) se torna cada vez mais inclinada à medida que s aumenta. A partir do texto-base, compare as taxas de variação de A(s) e P(s) e conclua qual das afirmações descreve corretamente o comportamento dessas funções quando s aumenta.
- A) A(s) e P(s) crescem ambas de forma linear
- B) A(s) cresce de forma linear e P(s) cresce de forma quadrática
- C) A(s) cresce de forma constante e P(s) cresce de forma quadrática
- D) A(s) cresce de forma quadrática e P(s) cresce de forma linear
- E) A(s) decresce para valores maiores de s enquanto P(s) cresce linearmente
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Analise P(s). Como P(s) = n·s e n é constante (n = 8 no caso citado), P é uma função do 1º grau em s, ou seja, cresce de forma linear. Ao dobrar s, P dobra, o que confirma essa leitura. Passo 2: Analise A(s). Como A(s) = n·s^2/(4·tan(pi/n)), o termo s aparece elevado ao quadrado, enquanto n e tan(pi/n) são constantes para um dado polígono. Logo A é uma função do 2º grau em s, ou seja, cresce de forma quadrática. Ao dobrar s, A fica multiplicada por 2^2 = 4, exatamente como o texto observa para n = 8. Isso também explica por que a curva de A(s) fica cada vez mais inclinada: a taxa de variação cresce com s. Passo 3: Compare com as alternativas. A está errada, pois A(s) não cresce linearmente. B está errada, pois inverte os graus: A(s) não é linear e P(s) não é quadrática. C está errada, pois A(s) não é constante (ela se quadruplica quando s dobra) e P(s) não é quadrática. E está errada, pois A(s) não decresce para valores maiores de s, já que o coeficiente n/(4·tan(pi/n)) é positivo e a área só aumenta com s. Passo 4: Conclusão. A alternativa correta é a D, na qual A(s) cresce de forma quadrática e P(s) cresce de forma linear. O gabarito oficial coincide com essa análise.
💡 Dica: Compare as expressões algébricas e o comportamento gráfico das funções.
Alternativa por alternativa
Supõe que a área também cresce de forma proporcional a s, como o perímetro, ignorando que s aparece elevado ao quadrado na fórmula de A(s). Não percebe que dobrar s quadruplica a área.
Inverte os graus das funções: considera a área linear e o perímetro quadrático. Não associa a expressão n·s (de grau 1) ao perímetro nem s^2 (de grau 2) à área.
Por que engana: Confundir crescimento linear com quadrático e interpretar incorretamente o gráfico das funções.
Interpreta que a área cresce de forma constante, contrariando o texto, que afirma que a área se quadruplica ao dobrar s. Também atribui ao perímetro um crescimento quadrático, o que contradiz a expressão n·s.
A(s) ~ s^2 (quadrática) e P(s) ~ s (linear), conforme destaque do texto quando s dobra.
Associa a curva da área cada vez mais inclinada a uma queda ou decrescimento para s maior. Confunde a inclinação crescente com redução da função, sem observar que o coeficiente da área é positivo.
Raio-X da questão
taxa de variação funções quadrática linear
avaliacao
funções polinomiais básicas · taxa de variação média
Estude crescimento linear e quadrático de funções e suas taxas de variação.
Confundir crescimento linear com quadrático e interpretar incorretamente o gráfico das funções.
pensamento_critico
cotidiano
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